在平面直角坐標系中,拋物線與軸的兩個交點分別為A(-3,0)、B(1,0),過頂點C作CH⊥x軸于點H.
(1)根據(jù)題意求,b的值及頂點C的坐標;
(2)在軸上是否存在點D,使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形?若存在,求出點D的坐標;若不存在,說明理由;
(3)若點P為x軸上方的拋物線上一動點(點P與頂點C不重合),PQ⊥AC于點Q,當△PCQ與△ACH相似時,求點P的坐標.
解:(1),頂點C的坐標為(-1,4)
(2)假設在y軸上存在滿足條件的點D, 過點C作CE⊥y軸于點E.
由∠CDA=90°得,∠1+∠2=90°. 又∠2+∠3=90°,
∴∠3=∠1. 又∵∠CED=∠DOA =90°,
∴△CED ∽△DOA,∴.
設D(0,c),則.
變形得,解之得.
綜合上述:在y軸上存在點D(0,3)或(0,1),
使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形.
(3)①若點P在對稱軸右側(如圖①),只能是△PCQ∽△CAH,得∠QCP=∠CAH.
延長CP交x軸于M,∴AM=CM, ∴AM2=CM2.
設M(m,0),則( m+3)2=42+(m+1)2,∴m=2,即M(2,0).
設直線CM的解析式為y=k1x+b1,
則, 解之得,.
∴直線CM的解析式.
聯(lián)立,解之得或(舍去).∴. 9分
②若點P在對稱軸左側(如圖②),只能是△PCQ∽△ACH,得∠PCQ=∠ACH.
過A作CA的垂線交PC于點F,作FN⊥x軸于點N.
由△CFA∽△CAH得,
由△FNA∽△AHC得
∴, 點F坐標為(-5,1).
設直線CF的解析式為y=k2x+b2,則,解之得.
∴直線CF的解析式.
聯(lián)立 ,解之得 或 (舍去). ∴.
∴滿足條件的點P坐標為或
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