【題目】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c,其圖象拋物線交x軸于點A(1,0),B(3,0),交y軸于點C,直線l過點C,且交拋物線于另一點E(點E不與點A、B重合).
(1)求此二次函數(shù)關(guān)系式;
(2)若直線l1經(jīng)過拋物線頂點D,交x軸于點F,且l1∥l,則以點C、D、E、F為頂點的四邊形能否為平行四邊形?若能,求出點E的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
(3)若過點A作AG⊥x軸,交直線l于點G,連接OG、BE,試證明OG∥BE.
【答案】
(1)
解:二次函數(shù)y=x2+bx+c,其圖象拋物線交x軸于點A(1,0),B(3,0),
∴ ,
解得: ,
∴此二次函數(shù)關(guān)系式為:y=x2﹣4x+3;
(2)
解:假設(shè)以點C、D、E、F為頂點的四邊形能成為平行四邊形.
①若CD為平行四邊形的對角線,如答圖2﹣1.
過點D作DM⊥AB于點M,過點E作EN⊥OC于點N,
∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴點D(2,﹣1),點C(0,3),
∴DM=1,
∵l1∥l,
∴當(dāng)CE=DF時,四邊形CEDF是平行四邊形,
∴∠ECF+∠CFD=180°,
∵∠OCF+∠OFC=90°,
∴∠ECN+∠DFM=90°,
∵∠DFM+∠FDM=90°,
∴∠ECN=∠FDM,
在△ECN和△FDM中,
,
∴△ECN≌△FDM(AAS),
∴CN=DM=1,
∴ON=OC﹣CN=3﹣1=2,
當(dāng)y=2時,x2﹣4x+3=2,
解得:x=2± ;
當(dāng)x=2± 時,可得E(2+ ,2),F(xiàn)(﹣ ,0)或E(2﹣ ,2,),F(xiàn)( ,0),
此時四邊形CFDE為平行四邊形.
②若CD為平行四邊形的邊,如答圖2﹣2,則EF∥CD,且EF=CD.
過點D作DM⊥y軸于點M,則DM=2,OM=1,CM=OM+OC=4;
過點E作EN⊥x軸于點N.
易證△CDM≌△EFN,∴EN=CM=4.
∴x2﹣4x+3=4,
解得:x=2± .
綜上所述,以點C、D、E、F為頂點的四邊形能成為平行四邊形;點E的坐標(biāo)為(2+ ,2)、(2﹣ ,2)、(2+ ,4)、(2﹣ ,4).
(3)
解:如圖②,過點E作EH⊥x軸于點H,
設(shè)直線CE的解析式為:y=kx+3,
∵A(1,0),AG⊥x軸,
∴點G(1,k+3),
即OA=1,AG=k+3,
∵E是直線與拋物線的交點,
∴ ,
解得: ,
∴點E(k+4,(k+1)(k+3)),
∴BH=OH﹣OB=k+1,EH=(k+1)(k+3),
∴ ,
∵∠OAG=∠BHE=90°,
∴△OAG∽△BHE,
∴∠AOG=∠HBE,
∴OG∥BE.
【解析】(1)由二次函數(shù)y=x2+bx+c,其圖象拋物線交x軸于點A(1,0),B(3,0),直接利用待定系數(shù)法求解,即可求得此二次函數(shù)關(guān)系式;(2)以點C、D、E、F為頂點的四邊形構(gòu)成平行四邊形,有兩種情形,需要分類討論,避免漏解:①若CD為平行四邊形的對角線,如答圖2﹣1所示;②若CD為平行四邊形的邊,如答圖2﹣2所示;(3)首先過點E作EH⊥x軸于點H,設(shè)直線CE的解析式為:y=kx+3,然后分別求得點G與E的坐標(biāo),即可證得△OAG∽△BHE,則可得∠AOG=∠HBE,繼而可證得OG∥BE.
【考點精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì),需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能得出正確答案.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠C=Rt∠,AB=5cm,BC=3cm,若動點P從點C開始,按C→A→B→C的路徑運動,且速度為每秒1cm,設(shè)出發(fā)的時間為t秒.
(1)出發(fā)2秒后,求△ABP的周長.
(2)問t滿足什么條件時,△BCP為直角三角形?
(3)另有一點Q,從點C開始,按C→B→A→C的路徑運動,且速度為每秒2cm,若P、Q兩點同時出發(fā),當(dāng)P、Q中有一點到達(dá)終點時,另一點也停止運動.當(dāng)t為何值時,直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:A(0,1),B(2,0),C(4,3)
(1)在直角坐標(biāo)系中描出各點,畫出△ABC.
(2)求△ABC的面積;
(3)設(shè)點P在坐標(biāo)軸上,且△ABP與△ABC的面積相等,求點P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,將正方形紙片ABCD對折,使AB與CD重合,折痕為EF.如圖2,展開后再折疊一次,使點C與點E重合,折痕為GH,點B的對應(yīng)點為點M,EM交AB于N,則tan∠ANE= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有一圓柱,其高為12cm,它的底面半徑為3cm,在圓柱下底面A處有一只螞蟻,它想得到上面B處的食物,則螞蟻經(jīng)過的最短距離為_________.(π取3)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三角形紙片ABC中,AD平分∠BAC,將△ABC折疊,使點A與點D重合,展開后折痕分別交AB、AC于點E、F,連接DE、DF.求證:四邊形AEDF是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點A(1,6)和點M(m,n)都在反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象上,
(1)k的值為;
(2)當(dāng)m=3,求直線AM的解析式;
(3)當(dāng)m>1時,過點M作MP⊥x軸,垂足為P,過點A作AB⊥y軸,垂足為B,試判斷直線BP與直線AM的位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,OA=OB,點P為△ABO的角平分線的交點,若PN⊥PA交x軸于N,延長OP交AB于M,寫出AO,ON,PM之間的數(shù)量關(guān)系,并證明之.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:已知在△ABC中,AB=AC,D為BC邊的中點,過點D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F(xiàn).
(1)求證:DE=DF;
(2)若∠A=60°,BE=1,求△ABC的周長.
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