Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，連接DE，把△DEC沿DE折疊得到△DEF，延長EF交AB于G，連接DG．

（1）求∠EDG的度數(shù)．

（2）如圖2，E為BC的中點(diǎn)，連接BF．

①求證：BF∥DE；

②若正方形邊長為12，求線段AG的長．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）①用外角證明平行見解析，②4

【解析】整體分析：

（1）判斷DE，DG分別平分∠CDF，∠ADF；（2）①由ED平分∠CEG，EF=EB，結(jié)合三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和得到∠CED=∠EBF；（3）由（1）中的結(jié)論，在Rt△BEG中用勾股定理列方程求解.

（1）解：由折疊知，DF=DC，∠CDE=∠FDE，∠DFE=∠DCE=90°，

∵AD=CD，所以AD=DF，

∵∠DAG=90°，DG=DG，

∴△DAG≌△DFG，∴∠ADG=∠FDG，

∴∠EDG=∠EDF+∠FDG=（∠CDF+∠FDA）=×90°=45°.

（2）①證明：由折疊知，CE=EF，∠CED=∠FED，

∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE=CE，∴EF=BE，

∴∠EBF=∠EFB，

∵∠CEG=∠EBF+∠EFB，∴∠CED=∠EBF，

∴BF∥DE.

（3）由（1）得EC=EF，GA=GF，

∴EG=EC+GA.

設(shè)AG=x，則BG=12-x，

又EB=EC=EF=6，

在Rt△BEG中，由勾股定理得：BG2+BE2=EG2.

∴（12-x）2+62=(x+6)2，解得x=4.

所以線段AG的長為4.