Question

如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點(diǎn)D，.

 

 

（1）求證：直線PB是⊙O的切線；

（2）求cos∠BCA的值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：連接OB、OP 

∵  且∠D=∠D

∴  △BDC∽△PDO

 ∴  ∠DBC=∠DPO  ∴  BC∥OP

∴  ∠BCO=∠POA   ∠CBO=∠BOP

∵  OB=OC   ∴  ∠OCB=∠CBO   ∴  ∠BOP=∠POA

又∵  OB=OA  OP=OP     ∴  △BOP≌△AOP   ∴  ∠PBO=∠PAO

又∵  PA⊥AC    ∴  ∠PBO=90°  ∴  直線PB是⊙O的切線

 （2）由（1）知∠BCO=∠POA    設(shè)PB，則

       又∵     ∴  

       又∵  BC∥OP   ∴    ∴ 

       ∴  ∴   ∴  cos∠BCA=cos∠POA= 

【解析】（1）連接OB、OP，由且∠D=∠D，根據(jù)三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易證得△BOP≌△AOP，則∠PBO=∠PAO=90°；

（2）設(shè)PB=a，則BD=2a，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到PA=PB=a，根據(jù)勾股定理得到，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到，則，利用勾股定理求出OP，然后根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．