Question

【題目】如圖，直線y=kx+b交x軸于點A（﹣1，0），交y軸于點B（0，4），過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C．

（1）求直線AB的解析式；

（2）在該拋物線的對稱軸上有一動點P，連接PA、PB，若測得PA+PB的最小值為5，求此時拋物線的解析式及點P的坐標；

（3）在（2）條件下，在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，直接寫出符合條件的所有Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=4x+4；（2）y=-x2+x+4，P（1，）；（3）存在這樣的點Q，使△ABQ為等腰三角形．Q1（1，），Q2（1，0），Q3（1，），Q4（1，﹣）．

【解析】分析：（1）將點A、B的坐標代入直線解析式，求出k、b的值，繼而得出直線的解析式；

（2）連接BC，則BC與對稱軸的交點即是P點的位置，根據(jù)PA+PB的最小值為5，可求出OC，利用待定系數(shù)法可求出拋物線解析式，直線BC解析式進而求出點P的坐標；

（3）設存在這樣的點Q，其坐標為（1，y），然后分三種情況討論，①QA=QB，②BA=BQ，③AB=AQ，分別求出y的值后即可得出點Q坐標．

詳解：(1)將點A(1，0)，點B(0，4)代入直線y=kx+b

得：，

解得：，

∴直線AB的解析式為y=4x+4；

(2)∵點A、點C關于拋物線的對稱軸對稱，故PA+PB的最小值為線段BC的長，

∴BC=5，

在Rt△BOC中，BC=5，BO=4，

∴OC=，

∴點C的坐標為(3，0)，

設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x3)，

將點B(0，4)代入得：a=，

∴拋物線的解析式為：y=(x+1)(x3)=x2+x+4；

設直線BC的解析式為y=mx+n，

將點B(0，4)，點C(3，0)代入可得，

，

解得：，

故直線BC的解析式為：y=x/span>+4，

又∵拋物線的對稱軸為x=1，

∴當x=1時，y=，

∴點P的坐標為(1，).

(3)存在這樣的點Q，使△ABQ為等腰三角形.

設Q(1，y)，

有三種情況：

①當QA=QB時，則有12+(y4)2=(11)2+y2，

解得：y=，即Q(1，)；

②當BA=BQ時，可知Q(1，0)，Q(1，8)(不合題意，舍去)；

③當AB=AQ時，Q(1，)或Q(1，).

所以滿足條件的Q有四個：Q1（1，），Q2（1，0），Q3（1，），Q4（1，﹣）．