(2010•西藏)已知AB是⊙O的直徑,BE是⊙O的切線,點(diǎn)D是射線BE上一動點(diǎn),且弦AC∥OD.
(1)試說明:CD是⊙O的切線;
(2)設(shè)⊙O的半徑為r,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到什么位置時(shí),有AC=
2
r?
分析:(1)如圖1,連接OD.欲證明CD是⊙O的切線,只需證明CD⊥OD;
(2)如圖2,根據(jù)勾股定理逆定理證得△AOC是直角三角形;然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)推知四邊形OCDB是矩形,則BD=OC=r,即點(diǎn)D運(yùn)動到距離點(diǎn)B為r處時(shí),AC=
2
r.
解答:(1)證明:如圖,∵OA=OC,
∴∠1=∠2.
又∵AC∥OD,
∴∠1=∠3,∠1=∠4,
∴∠3=∠4,
∴在△DCO與△DBO中,
CO=BO
∠3=∠4
OD=OD

∴△DCO≌△DBO(SAS),
∠DCO=∠DBO.
又∵BE是⊙O的切線,
∴∠DBO=90°,
∴∠DCO=90°,即CD⊥OD,
∴CD是⊙O的切線;

(2)如圖2,在△AOC中,OA=OC=r.
∵AC=
2
r,
∴AC2=OA2+OB2
∴∠AOC=90°,即OC⊥AB.
又∵OC⊥CD,BD⊥AB,
∴四邊形OCDB是矩形.
∴BD=OC=r,即點(diǎn)D運(yùn)動到距離點(diǎn)B為r處時(shí),AC=
2
r.
點(diǎn)評:本題考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理以及矩形的判定與性質(zhì).注意此題輔助線的作法,是連接切點(diǎn)與圓心,構(gòu)造直角三角形,通過直角三角形 的性質(zhì)解答問題.
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