Question

【題目】如圖（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm．BC=a cm，AC=3cm，且a是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的根．

（1）求a和m的值；
（2）如圖（2），有一個(gè)邊長為 的等邊三角形DEF從C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB方向移動(dòng)，至△DEF全部進(jìn)入與△ABC為止，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為xs，△DEF與△ABC重疊部分面積為y，試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式并注明x的取值范圍；

（3）試求出發(fā)后多久，點(diǎn)D在線段AB上？

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm．BC=a cm，AC=3cm，

根據(jù)勾股定理可得，BC=4cm，即a=4．

∵a是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的根

∴42﹣（m﹣1）×4+m+4=0的根，

∴m=8，

（2）

解：由（1）得a=4，則等邊三角形DEF的邊長為 =2（cm），

如圖（1），

當(dāng)0≤x≤1時(shí)，易知∠DFC=60°，

∵∠ACF=90°，

∴∠CGF=30°，

∴CG= CF= x

∴y=S△CGF= CFCG= x x= x2，

如圖（2），

當(dāng)1＜x≤2時(shí)，BE=2﹣x，HC= EC= （2﹣x），

∴S△HEC= ECHC= （2﹣x） （2﹣x）= （2﹣x）2，

∴y=S△DEF﹣S△HEC= ×22﹣ （2﹣x）2=﹣ x2+2 x﹣

綜上，

（3）

解：如圖（3），

若點(diǎn)D在線段AB上，

過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，此時(shí)DM∥AC，

∴△BDM∽△BAC

∴ 即 ，

∴DM=

又等邊三角形DEF的邊長2，

∴DM=

∴ ，

∴x=

即出發(fā)后 s時(shí)，點(diǎn)D在線段AB上．

【解析】（1）先利用勾股定理求出a，再用一元二次方程的解求出m；（2）分兩種情況①利用三角形的面積公式，②利用三角形的面積差即可得出結(jié)論；（3）先判斷出△BDM∽△BAC再用DM建立方程求解即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用三角形的面積和相似三角形的性質(zhì)，掌握三角形的面積=1/2×底×高；對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形即可以解答此題．