Question

19．如圖，某景區(qū)的湖中有一個(gè)小島A，湖邊有一條筆直的觀光大道BC，景區(qū)管理部門決定修建一座橋使小島與觀光大道相連接．現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù)：BC=78m，∠ABC=38.5°，∠ACB=26.5°．請你幫助景區(qū)管理部門計(jì)算應(yīng)該在距離B點(diǎn)多遠(yuǎn)的地方建橋，才能使橋的長度最短？（結(jié)果保留整數(shù)）
參考數(shù)據(jù)：
sin38.5°≈0.62  cos38.5°≈0.75  tan38.5°≈0.80
sin26.5°≈0.45   cos26.5°≈0.89  tan26.5°≈0.50．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，根據(jù)垂線段最短可知在D點(diǎn)處建橋，才能使橋的長度最短．設(shè)AD=xm，在Rt△BAD中表示出BD，在Rt△ACD中表示出CD，再由BC=78m，可得出方程，解方程得出AD的長度，進(jìn)而求出BD即可．

解答 解：作AD⊥BC于D，則∠ADB=∠ADC=90°．設(shè)AD=xm，
在Rt△BAD中，tan∠ABD=$\frac{x}{BD}$，
∴BD=$\frac{x}{tan38.5°}$≈$\frac{x}{0.80}$=$\frac{5}{4}$x，
在Rt△ACD中，tan∠ACD=$\frac{x}{DC}$，
∴DC=$\frac{x}{tan26.5°}$≈$\frac{x}{0.50}$=2x，
又∵BC=78m，
∴$\frac{5}{4}$x+2x=78，
解得：x=24，即AD=24m，
∴BD=30m．
答：應(yīng)該在距離B點(diǎn)約30m遠(yuǎn)的地方建橋，才能使橋的長度最短．

點(diǎn)評 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)表示出相關(guān)線段的長度，難度一般．