Question

如圖，已知△ABC是面積為

3

的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點(diǎn)F，則△AEF的面積等于______（結(jié)果保留根號(hào)）．

Answer 1

∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，
∴

S△ADE

S△ABC

=

AD2

AB2

，
∵AB=2AD，S_△ABC=

3

，
∴S_△ADE=

3

4

，
如圖，在△EAF中，過點(diǎn)F作FH⊥AE交AE于H，
則∠AFH=45°，∠EFH=30°，
∴AH=HF，
設(shè)AH=HF=x，則EH=xtan30°=

3

3

x．
又∵S_△ADE=

3

4

，
作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面積為

3

的等邊三角形，
∴

1

2

×AB×CM=

3

，
∠BCM=30°，
AB=2k，BM=k，CM=

3

k，
∴k=1，AB=2，
∴AE=

1

2

AB=1，
∴x+

3

3

x=1，
解得x=

3

3+ 3

=

3- 3

2

．
∴S_△AEF=

1

2

×1×

3- 3

2

=

3- 3

4

．