Question

如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求完成下列各題：
（1）畫AD∥BC（D為格點(diǎn)），連接CD；
（2）線段CD的長(zhǎng)為

5

，AC的長(zhǎng)為

2

5

；
（3）請(qǐng)你在△ACD的三個(gè)內(nèi)角中任選一個(gè)銳角，若你所選的銳角是

∠CAD

，則它所對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)值是

5

5

；
（4）若E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AD中點(diǎn)．則tan∠CAE的值是

1

2

，四邊形AECF的形狀為

菱形

，面積為

5

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)B到A是向右2格向上1個(gè)，所以從點(diǎn)C向右2格向上1格，即為點(diǎn)D所在的格點(diǎn)位置；
（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)以及勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（3）根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)度，然后根據(jù)勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，然后選擇一個(gè)角，再根據(jù)正弦定義解答；
（4）利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，根據(jù)正切定義列式進(jìn)行計(jì)算即可求解，根據(jù)圖形可以判定四邊形AECF是平行四邊形，然后證明AE=AF，從而得到四邊形AECF是菱形，求出CF的長(zhǎng)，以及CF邊上的高，然后根據(jù)菱形的面積公式列式計(jì)算即可．

解答：解：（1）如圖所示；

（2）CD=

12+22

=

5

，
AC=

42+22

=2

5

；

（3）選∠CAD，則∵AD=

42+32

=5，
∴CD²+AC²=（

5

）²+（2

5

）²=25=AD²，
∴△ACD是直角三角形，
∴若選∠CAD，則sin∠CAD=

CD

AD

=

5

5

，
若選∠ADC，則sin∠ADC=

AC

AD

=

2 5

5

；

（4）tan∠CAE=

2

4

=

1

2

，
根據(jù)圖形，四邊形ABCD是平行四邊形，
∵E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，
∴AF∥CE且AF=CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
又∵CF=

1

2

AD=AF=

5

2

（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴平行四邊形AECF是菱形，
∴S=

5

2

×2=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)雜作圖，勾股定理，勾股定理逆定理，以及解直角三角形，熟悉網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確作出圖形是解題的關(guān)鍵．