Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b）（b＞0），點(diǎn)P是直線AB上位于第二象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，記點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a．

（1）當(dāng)b=3時，
①求直線AB的解析式；
②若QO=QA，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）是否同時存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的a、b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：①由A（4，0），B（0，3），

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，

把A與B坐標(biāo)代入得： ，

解得：k=- ，b=3，

則直線AB解析式為y=- x+3；

②∵QA=QO，OA=4，

∴xQ=2，

∵點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為Q，

∴xP=-2，

代入直線AP解析式得- ×（-2）+3= ，

則P坐標(biāo)得P（-2， ）

（2）解：①若∠QAC=90°，如圖1所示，

∴xQ=4，

∴a=xP=-4，

∴AC=AQ=8，即P（-4，8），

∴直線AP解析式為y=-x+4，

∴a=-4，b=4；

②若∠AQC=90°，如圖2所示，

則AC=4-a=2CH=-4a，

∴a=- ，

∴xP=- ，yP=yq= ，即P（- ， ），

∴直線AP解析式為y=- x+2，

∴a=- ，b=2，

綜上所示，a=-4，b=4或a=- ，b=2

【解析】（1）①由題意確定出B坐標(biāo)，設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，把A與B坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可求出AB解析式；②由AQ=QO以及OA的長，確定出Q橫坐標(biāo)，根據(jù)P與Q關(guān)于y軸對稱，得出P橫坐標(biāo)，代入直線AB解析式求出縱坐標(biāo)，即可確定出P坐標(biāo)；
（2）同時存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形，分兩種情況考慮：①若∠QAC=90°；②若∠AQC=90°，分別求出a與b的值即可．
【考點(diǎn)精析】掌握確定一次函數(shù)的表達(dá)式是解答本題的根本，需要知道確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法．