【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)E在AB上,以AE為直徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)D,連接AD.
(1)求證:AD平分∠BAC;
(2)若⊙O的直徑為10,sin∠DAC=,求BD的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】(1)連接OD,先根據(jù)平行線的判定定理證明OD∥AC,然后依據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明∠OAD=∠DAC,于是可證明AD平分∠BAC;
(2)連接ED、OD,由題意可知AE=10,接下來,在△ADA中,依據(jù)銳角三角形的定義可求得AD的長(zhǎng),然后在△ADC中,可求得DC和AC的長(zhǎng),由OD∥AC可證明△BOD∽△BAC,然后由相似三角形的性質(zhì)可列出關(guān)于BD的方程.
解:(1)如圖1,連接OD.
∵⊙O與BC相切于點(diǎn)D,
∴OD⊥BC,
∴∠ODB=90°,
∵∠C=90°,
∴∠C=∠ODB,
∴OD∥AC,
∴∠ODA=∠DAC,
∵OD=OA,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠OAD=∠DAC,
∴AD平分∠BAC.
(2)如圖2,連接ED.
∵⊙O的直徑為10,AE是⊙O的直徑,
∴AE=10,∠EDA=90°,
∵∠EAD=∠DAC,sin∠DAC=,
∴sin∠EAD==,
∴DE=,
∴AD==,
同理可求DC=4,AC=8,
∵OD∥AC,
∴△BOD∽△BAC,
∴=,即=,解得:BD=.
“點(diǎn)睛”本題主要考查的是切線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定和性質(zhì),列出關(guān)于BD的方程是解題的關(guān)鍵.
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【題目】解不等式與不等式組
(1)求不等式 ﹣ ≤1的解集.
(2)解不等式組 ,把不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來,并寫出不等式組的非負(fù)整數(shù)解.
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【題目】某服裝廠生產(chǎn)一種西裝和領(lǐng)帶,西裝每套定價(jià)200元,領(lǐng)帶每條定價(jià)40元.廠方在開展促銷活動(dòng)期間,向客戶提供兩種優(yōu)惠方案:
①買一套西裝送一條領(lǐng)帶;
②西裝和領(lǐng)帶都按定價(jià)的90%付款.
現(xiàn)某客戶要到該服裝廠購(gòu)買西裝20套,領(lǐng)帶x條(x>20).
(1)若該客戶按方案①購(gòu)買,需付款元(用含x的代數(shù)式表示);
若該客戶按方案②購(gòu)買,需付款元(用含x的代數(shù)式表示);
(2)若x=30,通過計(jì)算說明此時(shí)按哪種方案購(gòu)買較為合算?
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【題目】新華購(gòu)物中心新購(gòu)進(jìn)籃球和排球共30個(gè),進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表,全部銷售完后共獲利潤(rùn)510元.
籃球 | 排球 | |
進(jìn)價(jià)(元/個(gè)) | 95 | 80 |
售價(jià)(元/個(gè)) | 110 | 100 |
(1)購(gòu)進(jìn)籃球和排球各多少個(gè)?
(2)銷售8個(gè)排球的利潤(rùn)與銷售幾個(gè)籃球的利潤(rùn)相等?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC為一邊向外作等邊三角形ACD,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),連結(jié)DE.
(1)證明DE∥CB;
(2)探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí),四邊形DCBE是平行四邊形.
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【題目】
(1)計(jì)算:3×(﹣2)2﹣|﹣4|﹣6×
(2)先化簡(jiǎn),再求值: x﹣2( x2﹣y2)﹣[2y﹣(x2﹣2y2)],其中x=2,y=﹣4.
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【題目】如圖,將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起.
(1)判斷∠ACE與∠BCD的大小關(guān)系,并說明理由;
(2)若∠DCE=30°,求∠ACB的度數(shù);
(3)猜想:∠ACB與∠DCE有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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