Question

已知，點(diǎn)Q是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連QA、QB、QC．
（I）將△QAB繞點(diǎn)B順針旋轉(zhuǎn)90°到△Q'CB的位置（如圖①所示）．若QA=1，QB=2，∠AQB=135°，求QC的長(zhǎng)．
（II）如圖②，若QA²+QC²=2QB²，請(qǐng)說明點(diǎn)Q必在對(duì)角線AC上．

Answer 1

分析：（I）△BQ'C由△BQA旋轉(zhuǎn)得到，△QQ'C是直角三角形，利用勾股定理即可求解；
（II）過Q點(diǎn)作QM⊥AB于M，QN⊥BC于N，證明∠MAQ=45°即可．

解答：解：（I）解：△BQ'C由△BQA旋轉(zhuǎn)得到，
∴Q'C=QA=1，BQ'=BQ=2，∠BQ'C=∠BQA=135°，∠Q'BC=∠ABQ，
∴∠QBQ'=∠ABC=90°（1分）
連接QQ'，則∠QQ'B=∠Q'QB=45°（2分）
∴QQ′=

2

QB=2

2

．（3分）∠QQ'C=135°-45°=90°（4分）
在Rt△QQ'C中，QC=

Q′Q2+Q′C2

=

(2 2 )2+12

=3（5分）

（II）證明：過Q點(diǎn)作QM⊥AB于M，QN⊥BC于N（6分）
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，QM=x，QN=y，
則AM=a-y，CN=a-x（7分）
在Rt△QMA中，QA²=QM²+AM²=x²+（a-y）²
在Rt△QNC中，QC²=QN²+CN²=y²+（a-x）²
在Rt△QMB中，QB²=QM²+BM²=x²+y²（8分）
∵QA²+QC²=2QB²
∴x²+（a-y）²+y²+（a-x）²=2（x²+y²）
得a=x+y（9分）
∴AM=QM∴∠MAQ=45°
∴Q點(diǎn)在對(duì)角線AC上（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確證得：△QQ'C是直角三角形，以及把證Q點(diǎn)在對(duì)角線AC上轉(zhuǎn)化為證明求角度的大小問題，是解題關(guān)鍵．