【題目】如圖,正方形OABC的邊OA,OC在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣4,4).點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸向點(diǎn)O運(yùn)動;點(diǎn)Q從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā),以相同的速度沿x軸的正方向運(yùn)動,規(guī)定點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí),點(diǎn)Q也停止運(yùn)動.連接BP,過P點(diǎn)作BP的垂線,與過點(diǎn)Q平行于y軸的直線l相交于點(diǎn)D.BD與y軸交于點(diǎn)E,連接PE.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t(s).
(1)∠PBD的度數(shù)為 ,點(diǎn)D的坐標(biāo)為 (用t表示);
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△PBE為等腰三角形?
(3)探索△POE周長是否隨時(shí)間t的變化而變化?若變化,說明理由;若不變,試求這個(gè)定值.
【答案】(1)45°,(t,t);(2)t為4秒或()秒;(3)△POE周長是定值,該定值為8.
【解析】試題分析:(1)易證△BAP≌△PQD,從而得到DQ=AP=t,從而可以求出∠PBD的度數(shù)和點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)由于∠EBP=45°,故圖1是以正方形為背景的一個(gè)基本圖形,容易得到EP=AP+CE.由于△PBE底邊不定,故分三種情況討論,借助于三角形全等及勾股定理進(jìn)行求解,然后結(jié)合條件進(jìn)行取舍,最終確定符合要求的t值.
(3)由(2)已證的結(jié)論EP=AP+CE很容易得到△POE周長等于AO+CO=8,從而解決問題.
試題解析:(1)如圖1,由題可得:AP=OQ=1×t=t(秒)
∴AO=PQ.
∵四邊形OABC是正方形,∴AO=AB=BC=OC,∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°.
∵DP⊥BP,∴∠BPD=90°,∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ.
∵AO=PQ,AO=AB,∴AB=PQ.
在△BAP和△PQD中,∵∠BAP=∠PQD,∠BPA=∠PDQ,AB=PQ,∴△BAP≌△PQD(AAS),∴AP=QD,BP=PD.∵∠BPD=90°,BP=PD,∴∠PBD=∠PDB=45°.∵AP=t,∴DQ=t,∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(t,t).
故答案為:45°,(t,t).
(2)①若PB=PE,由△PAB≌△DQP得PB=PD,顯然PB≠PE,∴這種情況應(yīng)舍去.
②若EB=EP,則∠PBE=∠BPE=45°,∴∠BEP=90°,∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC.
在△POE和△ECB中,∵∠PEO=∠EBC,∠POE=∠ECB,EP=BE,∴△POE≌△ECB(AAS),∴OE=CB=OC,∴點(diǎn)E與點(diǎn)C重合(EC=0),∴點(diǎn)P與點(diǎn)O重合(PO=0).
∵點(diǎn)B(﹣4,4),∴AO=CO=4.此時(shí)t=AP=AO=4.
③若BP=BE,在Rt△BAP和Rt△BCE中,∵BA=BC,BP=BE,∴Rt△BAP≌Rt△BCE(HL),∴AP=CE.
∵AP=t,∴CE=t,∴PO=EO=4﹣t.
∵∠POE=90°,∴PE==.
延長OA到點(diǎn)F,使得AF=CE,連接BF,如圖2所示.在△FAB和△ECB中,∵AB=CB,∠BAF=∠BCE=90°,AF=CE,∴△FAB≌△ECB,∴FB=EB,∠FBA=∠EBC.
∵∠EBP=45°,∠ABC=90°,∴∠ABP+∠EBC=45°,∴∠FBP=∠FBA+∠ABP
=∠EBC+∠ABP=45°,∴∠FBP=∠EBP.
在△FBP和△EBP中,
∴△FBP≌△EBP(SAS),∴FP=EP,∴EP=FP=FA+AP=CE+AP,∴EP=t+t=2t,∴=2t.解得:t=,∴當(dāng)t為4秒或()秒時(shí),△PBE為等腰三角形.
(3)∵EP=CE+AP,∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=4+4=8,∴△POE周長是定值,該定值為8.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形OABC的頂點(diǎn)A,C分別在x軸和y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,6).雙曲線y= (x>0)的圖象經(jīng)過BC的中點(diǎn)D,且與AB交于點(diǎn)E,連接DE.
(1)求k的值及點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)F是邊上一點(diǎn),且△BCF∽△EBD,求直線FB的解析式.
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【題目】如圖,小明有5張寫著不同數(shù)的卡片,請你按照題目要求抽出卡片,完成下列問題:
(1)從中取出3張卡片,使這3張卡片上數(shù)字的乘積最大,如何抽。孔畲笾凳嵌嗌?
(2)從中取出2張卡片,使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小,如何抽?最小值是多少?
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【題目】如圖把長方形沿對角線折疊,重合部分為△EBD。
(1) △EBD是等腰三角形嗎?為什么?
(2) 若AB=12cm,BC=18cm,求AE的長。
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【題目】如圖,是將菱形ABCD以點(diǎn)O為中心按順時(shí)針方向分別旋轉(zhuǎn)90°,180°,270°后形成的圖形。若,AB=2,則圖中陰影部分的面積為( )
A. 12-4 B. 5 C. 12-4 D. 6
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【題目】如圖,△ABC是一塊銳角三角形余料,邊BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成長方形零件PQMN,使長方形PQMN的邊QM在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)P,N分別在AB,AC上,求這個(gè)長方形零件PQMN面積S的最大值.
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【題目】如圖,在銳角三角形中,
(1)猜想 , , 之間的關(guān)系,并證明.
(2)猜想cosC與a,b,c之間的關(guān)系?并證明.
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【題目】如圖,Rt⊿ABC中,∠C = 90,以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE,且正方形對角線交于點(diǎn)O,連接OC,已知AC=6,OC=,則直角邊BC的長為___________
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【題目】如圖1所示∠AOB的紙片,OC平分∠AOB,如圖2把∠AOB沿OC對折成∠COB(OA與OB重合),從O點(diǎn)引一條射線OE,使∠BOE=∠EOC,再沿OE把角剪開,若剪開后得到的3個(gè)角中最大的一個(gè)角為76°,則∠AOB=_____________°.
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