【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,點P從點B出發(fā),沿對角線BD向點D勻速運動,速度為4cm/s,過點P作PQ⊥BD交BC于點Q,以PQ為一邊作正方形PQMN,使得點N落在射線PD上,點O從點D出發(fā),沿DC向點C勻速運動,速度為3cm/s,以O(shè)為圓心,0.8cm為半徑作⊙O,點P與點O同時出發(fā),設(shè)它們的運動時間為t(單 位:s)(0<t<)。

(1)如圖1,連接DQ平分∠BDC時,t的值為      ;

(2)如圖2,連接CM,若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形,求t的值;

(3)請你繼續(xù)進(jìn)行探究,并解答下列問題:

①證明:在運動過程中,點O始終在QM所在直線的左側(cè);

②如圖3,在運動過程中,當(dāng)QM與⊙O相切時,求t的值;并判斷此時PM與⊙O是否也相切?說明理由.

【答案】1;(2;(3證明見解析,②t=,PM⊙O不相切.

【解析】試題分析:本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)等知識,利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程,最后一個問題利用反證法證明解題.

1)先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ,再根據(jù)角平分線性質(zhì),列出方程解決問題.

2)由QTM∽△BCD,得列出方程即可解決.

3如圖2中,由此QMCDE,求出DE、DO利用差值比較即可解決問題.

如圖3中,由可知O只有在左側(cè)與直線QM相切于點H,QMCD交于點E.由OHE∽△BCD,得,列出方程即可解決問題.利用反證法證明直線PM不可能由O相切.

1)解:如圖1中,四邊形ABCD是矩形,

∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°,AB=CD=6AD=BC=8

,

∵PQ⊥BD,

∴∠BPQ=90°=∠C

∵∠PBQ=∠DBC,

∴△PBQ∽△CBD,

,

∴PQ=3t,BQ=5t,

∵DQ平分∠BDC,QP⊥DB,QC⊥DC,

∴QP=QC

∴3t=8-5t,

∴t=1

故答案為:1

2)解:如圖2中,作MT⊥BCT

∵M(jìn)C=MQMT⊥CQ,

∴TC=TQ,

由(1)可知TQ=8-5t),QM=3t,

∵M(jìn)Q∥BD,

∴∠MQT=∠DBC,

∵∠MTQ=∠BCD=90°,

∴△QTM∽△BCD

,

t=s),

t=s時,CMQ是以CQ為底的等腰三角形.

3證明:如圖2中,由此QMCDE,

∵EQ∥BD

,

EC=8-5t),ED=DC-EC=6-8-5t=t

∵DO=3t,

DE-DO=t-3t=t0,

O在直線QM左側(cè).

解:如圖3中,由可知⊙O只有在左側(cè)與直線QM相切于點H,QMCD交于點E

EC=8-5t),DO=3t

OE=6-3t-8-5t=t,

∵OH⊥MQ

∴∠OHE=90°,

∵∠HEO=∠CEQ,

∴∠HOE=∠CQE=∠CBD,

∵∠OHE=∠C=90°,

∴△OHE∽△BCD,

,

t=

t=s時,O與直線QM相切.

連接PM,假設(shè)PMO相切,則OMH=PMQ=22.5°

MH上取一點F,使得MF=FO,則∠FMO=∠FOM=22.5°,

∴∠OFH=∠FOH=45°

OH=FH=,FO=FM=,

MH=+1),

得到HE=,

得到EQ=,

MH=MQ-HE-EQ=4--=

+1,矛盾,

假設(shè)不成立.

直線PM⊙O不相切.

練習(xí)冊系列答案
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