【題目】如圖,四邊形ABCD的頂點(diǎn)在⊙O上,BD是⊙O的直徑,延長CD、BA交于點(diǎn)E,連接AC、BD交于點(diǎn)F,作AH⊥CE,垂足為點(diǎn)H,已知∠ADE=∠ACB.
(1)求證:AH是⊙O的切線;
(2)若OB=4,AC=6,求sin∠ACB的值;
(3)若,求證:CD=DH.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.
【解析】
(1)連接OA,證明△DAB≌△DAE,得到AB=AE,得到OA是△BDE的中位線,根據(jù)三角形中位線定理、切線的判定定理證明;
(2)利用正弦的定義計(jì)算;
(3)證明△CDF∽△AOF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CD=CE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明.
(1)證明:連接OA,
由圓周角定理得,∠ACB=∠ADB,
∵∠ADE=∠ACB,
∴∠ADE=∠ADB,
∵BD是直徑,
∴∠DAB=∠DAE=90°,
在△DAB和△DAE中,
,
∴△DAB≌△DAE,
∴AB=AE,又∵OB=OD,
∴OA∥DE,又∵AH⊥DE,
∴OA⊥AH,
∴AH是⊙O的切線;
(2)解:由(1)知,∠E=∠DBE,∠DBE=∠ACD,
∴∠E=∠ACD,
∴AE=AC=AB=6.
在Rt△ABD中,AB=6,BD=8,∠ADE=∠ACB,
∴sin∠ADB==,即sin∠ACB=;
(3)證明:由(2)知,OA是△BDE的中位線,
∴OA∥DE,OA=DE.
∴△CDF∽△AOF,
∴=,
∴CD=OA=DE,即CD=CE,
∵AC=AE,AH⊥CE,
∴CH=HE=CE,
∴CD=CH,
∴CD=DH.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑做⊙O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作⊙O的切線,交AB于點(diǎn)E,交CA的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:FE⊥AB;
(2)填空:當(dāng)EF=4,時,則DE的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠為新型號電視機(jī)上市舉辦促銷活動,顧客每買一臺該型號電視機(jī),可獲得一次抽獎機(jī)會,該廠擬按10%設(shè)大獎,其余90%為小獎.
廠家設(shè)計(jì)的抽獎方案是:在一個不透明的盒子中,放入10個黃球和90個白球,這些球除顏色外都相同,攪勻后從中任意摸出1個球,摸到黃球的顧客獲得大獎,摸到白球的顧客獲得小獎.
(1)廠家請教了一位數(shù)學(xué)老師,他設(shè)計(jì)的抽獎方案是:在一個不透明的盒子中,放入2個黃球和3個白球,這些球除顏色外都相同,攪勻后從中任意摸出2個球,摸到的2個球都是黃球的顧客獲得大獎,其余的顧客獲得小獎.該抽獎方案符合廠家的設(shè)獎要求嗎?請說明理由;
(2)下圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤,請你將轉(zhuǎn)盤分為2個扇形區(qū)域,分別涂上黃、白兩種顏色,并設(shè)計(jì)抽獎方案,使其符合廠家的設(shè)獎要求.(友情提醒:1.轉(zhuǎn)盤上用文字注明顏色和扇形的圓心角的度數(shù),2、結(jié)合轉(zhuǎn)盤簡述獲獎方式,不需說明理由.)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為緩解交通壓力,市郊某地正在修建地鐵站,擬同步修建地下停車庫.如圖是停車庫坡道入口的設(shè)計(jì)圖,其中MN是水平線,MN∥AD,AD⊥DE,CF⊥AB,垂足分別為D,F(xiàn),坡道AB的坡度=1:3,AD=9米,點(diǎn)C在DE上,CD=0.5米,CD是限高標(biāo)志牌的高度(標(biāo)志牌上寫有:限高 米).如果進(jìn)入該車庫車輛的高度不能超過線段CF的長,則該停車庫限高多少米?(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73,≈3.16)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四位同學(xué)在研究函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù),且a≠0)時,甲發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=1時,函數(shù)有最大值;乙發(fā)現(xiàn)﹣1是方程ax2+bx+c=0的一個根;丙發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最大值為﹣1;丁發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=2時,y=﹣2,已知四位中只有一位發(fā)現(xiàn)的結(jié)論時錯誤的,則該同學(xué)是( ).
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)P是半圓上不與點(diǎn)A,B重合的動點(diǎn),PC∥AB,點(diǎn)M是OP中點(diǎn).
(1)求證:四邊形OBCP是平行四邊形;
(2)填空:
①當(dāng)∠BOP= 時,四邊形AOCP是菱形;
②連接BP,當(dāng)∠ABP= 時,PC是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一條筆直的東西向海岸線l上有一長為1.5km的碼頭MN和燈塔C,燈塔C距碼頭的東端N有20km.一輪船以36km/h的速度航行,上午10:00在A處測得燈塔C位于輪船的北偏西30°方向,上午10:40在B處測得燈塔C位于輪船的北偏東60°方向,且與燈塔C相距12km.
(1)若輪船照此速度與航向航向,何時到達(dá)海岸線?
(2)若輪船不改變航向,該輪船能否?吭诖a頭?請說明理由(參考數(shù)據(jù): ≈1.4, ≈1.7).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(﹣1,1),B(0,﹣2),C(1,0),點(diǎn)P(0,2)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)P1,點(diǎn)P1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)P2,點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)P3,點(diǎn)P3繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)P4,…,按此作法進(jìn)行下去,則點(diǎn)P2019的坐標(biāo)為( )
A.(-2,0)B.C.(2,-4)D.(-2,-2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC,且∠ACB=90°.
(1)請用直尺和圓規(guī)按要求作圖(保留作圖痕跡,不寫作法和證明):
①以點(diǎn)A為圓心,BC邊的長為半徑作⊙A;
②以點(diǎn)B為頂點(diǎn),在AB邊的下方作∠ABD=∠BAC.
(2)請判斷直線BD與⊙A的位置關(guān)系,并說明理由.
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