Question

【題目】（1）尺規(guī)作圖：如圖1，請?jiān)?/span>x軸上作出表示（，0）的點(diǎn)（保留清晰作圖痕跡，不寫作法）．

（2）如圖2，已知點(diǎn)A（4，2），點(diǎn)B在x軸上，若∠OAB=90°，試求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）如圖3，已知點(diǎn)A（4，2），點(diǎn)C在x軸上，若△OAC為等腰三角形，試求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）（5，0）；（3）（8，0），（2.5，0），（，0），（-，0）．

【解析】

（1）過2作y軸的垂線，過－4作x軸的垂線，交于點(diǎn)B，連接OB，以O為圓心，OB為半徑作弧交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A就是所求的點(diǎn)．

（2）用待定系數(shù)法求出直線OA的解析式．設(shè)直線AB為y=ax+b，由BA⊥OA，得到a=－2，把A（4，2）代入得到b的值，從而得到直線AB的解析式，令y=0，求得x的值，即可得到結(jié)論．

（3）分三種情況討論：①以O為圓心，OA為半徑作圓O交x軸于點(diǎn)C1，C2；②以A為圓心，OA為半徑作圓A交x軸于點(diǎn)O，C3；③作OA的垂直平分線交x軸于點(diǎn)C4．分別求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可．

（1）如圖，過2作y軸的垂線，過－4作x軸的垂線，交于點(diǎn)B，連接OB，以O為圓心，OB為半徑作弧交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，則OA=OB=，∴A（，0）．

（2）設(shè)直線OA為y=kx，把A（4，2）代入得：2=4k，解得：k=，∴直線OA的解析式為y=x．設(shè)直線AB為y=ax+b．

∵BA⊥OA，則a=－2，∴直線AB為y=－2x+b，把A（4，2）代入得：2=－2×4+b，解得：b=10，∴y=－2x+10．在y=－2x+10中，令y=0，解得：x=5，∴B（5，0）．

（3）分三種情況討論：

①以O為圓心，OA為半徑作圓O交x軸于點(diǎn)C1，C2，則OC1=OC2=OA=，∴C1（，0），C2（，0）；

②以A為圓心，OA為半徑作圓A交x軸于點(diǎn)O，C3，則OC3=2×4=8，∴C3（8，0）；

③作OA的垂直平分線交x軸于點(diǎn)C4，則OC4=AC4．設(shè)C4（x，0），則 ，解得：x=2.5，∴C4（2.5，0）．

綜上所述：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0）或（2.5，0）或（，0）或（-，0）．