Question

【題目】實(shí)踐與探究

在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)(0,0)，點(diǎn)A(5,0)，點(diǎn)B(0,3).以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC，得到矩形ADEF，點(diǎn)O，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D,E，F.

(1)如圖(1)，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)如圖(2)，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BE上時(shí)，AD與BC交于點(diǎn)H.

①求證：ΔADB≌ΔAOB；

②求點(diǎn)H的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)D(1，3)；(2)①證明見(jiàn)解析；②H(，3).

【解析】

（1）如圖①，在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理求出CD，即可解決問(wèn)題；
（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，OA=DA，則根據(jù)HL證明全等即可；
②先證明△BDH≌△ACH，得DH=CH，設(shè)CH=x，則AH =5-x，在Rt△AHC中，根據(jù)AH2=HC2+AC2，構(gòu)建方程求出x即可解決問(wèn)題；

解：(1)∵A(5,0)，B(0,3)，

∴OA=5，OB=3，

∵四邊形AOBC是矩形，

∴OB=AC=3，OA=BC=5 ∠C=90°，

∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到的，

∴AD=OA=5 .

在RtΔACD中

CD= ，

∴BD=1，

∴D(1，3) .

(2)①由旋轉(zhuǎn)可知：

OA=DA，∠AOB=∠ADE=90°，

∴∠AOB=∠ADB=90°，

在Rt△AOB與Rt△ADB中

，

∴△ADB≌△AOB(HL)；

②∵△ADB≌△AOB(HL)，

∴BD=BO=AC ，

在△BDH與△ACH中

，

∴△BDH≌△ACH(AAS)，

∴DH=CH，

∵DH+AH=AD=5，

∴CH+AH=5，

設(shè)CH=，則AH=，

在Rt△ACH中

，

解得：，

∴BH=，

∴H(,3).