【題目】二次函數(shù)y=ax2+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(﹣4,3),B(﹣2,6),點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸右側(cè)圖象上的一點(diǎn),點(diǎn)G(0,﹣1).
(1)求出點(diǎn)C坐標(biāo)及拋物線的解析式;
(2)若以A,C,P,G為頂點(diǎn)的四邊形面積等于30時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若Q為線段AC上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)Q平行于y軸的直線與過點(diǎn)G平行于x軸的直線交于點(diǎn)M,將△QGM沿QG翻折得到△QGN,當(dāng)點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上時(shí),求Q點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2+7,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,3);(2)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,)或(6,﹣2);(3)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4,3)或(﹣4,﹣3)或(﹣,3)或(,3).
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式,然后利用拋物線的對(duì)稱性確定C點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)P(x,﹣x2+7)(x>0),討論:當(dāng)點(diǎn)P在AC上方時(shí),如圖1,利用S四邊形AGCP=S△GAC+S△PAC列方程84+8(﹣x2+7﹣3)=30,當(dāng)點(diǎn)P在AC下方時(shí),如圖2,AC與y軸交于點(diǎn)E,利用S四邊形AGPC=S△GAE+S△PEG+S△PEC列方程44+x4+4(3+x2﹣7)=30,然后分別解方程可得到對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)N落在y軸上,如圖3,利用折疊性質(zhì)得∠QNG=∠QMG=90°,QN=QM=4,易得Q點(diǎn)的坐標(biāo);當(dāng)點(diǎn)N落在x軸上,QM與x軸交于點(diǎn)F,如圖4,設(shè)Q(t,3)(﹣4≤t<0),利用折疊性質(zhì)得∠QNG=∠QMG=90°,QN=QM=4,GN=GM=﹣t,由于FN=,OF=﹣t,ON=,則﹣t=,解方程得到此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo),當(dāng)0<t≤4,同理可得Q點(diǎn)的坐標(biāo).
(1)∵二次函數(shù)y=ax2+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(﹣4,3),B(﹣2,6),∴,解得:,∴拋物線的解析式為y=﹣x2+7.
∵二次函數(shù)y=ax2+c的圖象的對(duì)稱軸為y軸,點(diǎn)A(﹣4,3),∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,3).
(2)設(shè)P(x,﹣x2+7)(x>0),當(dāng)點(diǎn)P在AC上方時(shí),如圖1,S四邊形AGCP=S△GAC+S△PAC=84+8(﹣x2+7﹣3),∴84+8(﹣x2+7﹣3)=30,解得:x1=,x2=﹣(舍去),此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為();
當(dāng)點(diǎn)P在AC下方時(shí),如圖2,AC與y軸交于點(diǎn)E,S四邊形AGPC=S△GAE+S△PEG+S△PEC=44+x4+4(3+x2﹣7),∴44+x4+4(3+x2﹣7)=30,解得:x1=6,x2=﹣10(舍去),此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(6,﹣2).
綜上所述:P點(diǎn)坐標(biāo)為()或(6,﹣2);
(3)QN=3﹣(﹣1)=4,當(dāng)點(diǎn)N落在y軸上,如圖3.
∵△QGM沿QG翻折得到△QGN,∴∠QNG=∠QMG=90°,QN=QM=4,∴N點(diǎn)為AC與y軸的交點(diǎn),∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣4,3)或(﹣4,﹣3);
當(dāng)點(diǎn)N落在x軸上,QM與x軸交于點(diǎn)F,如圖4,設(shè)Q(t,3)(﹣4≤t<0)
∵△QGM沿QG翻折得到△QGN,∴∠QNG=∠QMG=90°,QN=QM=4,GN=GM=﹣t.在Rt△OFN中,FN==,而OF=﹣t,ON=﹣t=,解得:t=﹣,此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣,3),當(dāng)0<t≤4,易得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(,3).
綜上所述:Q點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4,3)或(﹣4,﹣3)或(﹣,3)或(,3).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖,在 ABC 中,BAC 90° ,分別過頂點(diǎn) B、C 作 A 點(diǎn)的直線的垂線垂足分別為 D、E,試探究線段 BD、CE、DE 之間的關(guān)系.
(1)當(dāng)直線 DE 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)至如圖 1 的位置,直接寫出 BD、CE、DE 之間的數(shù)量 為 ;
(2)當(dāng)直線 DE 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)至如圖 2 的位置,直接寫出 BD、CE、DE 之間的數(shù)量 為 ;
(3)當(dāng)直線 DE 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)至如圖 3 的位置,寫出 BD、CE、DE 之間的數(shù)量,并證明 你的結(jié)論;
(4)如圖 4,如果將 ABC 放在直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(-1,1),求 OB-OC 的 值.請(qǐng)寫出必要的解答步驟.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O,將∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折疊,點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合,則∠OEC為 度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)D,E,F分別是△ABC的邊AB,AC,BC上的點(diǎn),DE∥BC,DF∥AC.
(1)如圖1,點(diǎn)G是線段FD延長線上一點(diǎn),連接EG,∠CEG的平分線EM交AB于點(diǎn)M,交FD于點(diǎn)N.則∠A,∠AME,∠CEG之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出證明過程;
(2)如圖2,在(1)的條件下,若EG平分∠AED,∠AME=35°,且∠EDF﹣∠A=30°,求∠C的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC中,∠BAC=60°,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側(cè)作菱形ADEF,使∠DAF=60°,連接CF.
(1)觀察猜想:如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),①AB與CF的位置關(guān)系為: ;
②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為: .
(2)數(shù)學(xué)思考:如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí),結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明.
(3)拓展延伸:如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí),設(shè)AD與CF相交于點(diǎn)G,若已知AB=4,CD=AB,求AG的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】邊長為2的正方形ABCD中E是AB的中點(diǎn),P在射線DC上從D出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng),過P做PF⊥DE,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為__________秒時(shí),以點(diǎn)P、F、E為頂點(diǎn)的三角形與△AED相似
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有、、三個(gè)居民小區(qū)的位置成三角形,現(xiàn)決定在三個(gè)小區(qū)之間修建一個(gè)購物超市,使超市到三個(gè)小區(qū)的距離相等,則超市應(yīng)建在( )
A.在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處
B.在AC、BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處
C.在AC、BC兩邊高線的交點(diǎn)處
D.在AC、BC兩邊中線的交點(diǎn)處
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知長方形ABCD中,∠A=∠D=∠B=∠C=90,E是AD上的一點(diǎn),F是AB上的一點(diǎn),EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm.
(1)求證:AF=DE.
(2)若AD+DC=18,求AE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(0,1),B(﹣1,0),動(dòng)點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=的圖象上運(yùn)動(dòng),當(dāng)線段PA與線段PB之差的絕對(duì)值最大時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____.
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