【題目】定義:對(duì)角線互相垂直的凸四邊形叫做“垂直四邊形”.
(1)理解:
如圖1,已知四邊形ABCD是“垂直四邊形”,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,AC=8,BD=7,求四邊形ABCD的面積.
(2)探究:
小明對(duì) “垂直四邊形”ABCD(如圖1)進(jìn)行了深入探究,發(fā)現(xiàn)其一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和.即.你認(rèn)為他的發(fā)現(xiàn)正確嗎?試說(shuō)明理由.
(3)應(yīng)用:
① 如圖2,在△ABC中, ,AC=6,BC=8,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒5個(gè)單位的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒6個(gè)單位的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(),連結(jié)CP,BQ,PQ.當(dāng)四邊形BCQP是“垂直四邊形”時(shí),求t的值.
② 如圖3,在△ABC中,,AB=3AC,分別以AB,AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG,連結(jié)EG.請(qǐng)直接寫出線段EG與BC之間的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)28;(2)證明見解析;(3)①;②
【解析】試題分析:(1)由于對(duì)角線互相垂直,所以四邊形ABCD的面積可化為AOBD+COBD的和;
(2)由于對(duì)角線互相垂直,由勾股定理分別表示出AB2、CD2、AD2、BC2;
(3)①過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D,構(gòu)造△PAD∽△BAC后,利用BP2+CQ2=PQ2+BC2列出關(guān)于t的方程;②連接BE、CG、BG、CE,證明四邊形BCGE是垂直四邊形,然后利用其性質(zhì)“一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和”,即可得出EG與BC的數(shù)量關(guān)系.
試題解析:(1)∵四邊形ABCD是“垂直四邊形”,
∴AC⊥BD,
∴四邊形ABCD的面積為AOBD+COBD=BD(AO+CO) =ACBD=2×8×7=28,
故答案為:28;
(2)∵四邊形ABCD是“垂直四邊形”,
∴AC⊥BD.
由勾股定理可知:
AB2+CD2=(AO2+BO2)+(DO2+CO2),
AD2+BC2=(AO2+DO2)+(BO2+CO2),
∴AB2+CD2=AD2+BC2;
(3)① 過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D,
∵∠ACB=90°,
∴AB==10,PD∥BC.
∴ △PAD∽△BAC,
∴.
∵ 動(dòng)點(diǎn)P的速度為每秒5個(gè)單位,動(dòng)點(diǎn)Q的速度為每秒6個(gè)單位.
∴ AP=5t,CQ=6t
∴,∴AD=3t,PD=4t.
∵ 四邊形BCQP是“垂直四邊形”.
∴BP2+CQ2=PQ2+BC2.
∴(10-5t)2+(6t)2=(4t)2+(6-9t)2+82,
解得t=或t=0(舍去).
∴ 當(dāng)四邊形BCQP是“垂直四邊形”時(shí),t的值為.
②如圖3,
連接CG、BG、BE、CE,
CE與BG交于點(diǎn)O
由題意知:EA=BA,AC=AG
∠EAB=∠CAG=90°
∴∠EAB+∠BAC=∠CAG+∠BAC
∴∠EAC=∠BAG
在△EAC與△BAG中,
∴△EAC≌△BAG(SAS)
∴∠CEA=∠GBA
∴∠EAB=∠BOE=90°
∴四邊形BCGE是“垂直四邊形”
∴BC2+EG2=BE2+CG2,
∵AB=3AC,
∴EG2=BC2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1是流花河的水文資料(單位:米),取河流的警戒水位作為0點(diǎn),那么圖中的其他數(shù)據(jù)可以分別記作什么?如表是小明記錄的今年雨季流花河一周內(nèi)水位變化情況(上周末的水位達(dá)到警戒水位)
星期 水位 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
水位變化/米 | +0.2 | +0.8 | -0.4 | +0.1 | +0.3 | -0.4 | -0.1 |
實(shí)際水位/米 | 33.6 |
注:正表示水位比前一天上升,負(fù)表示水位比前一天下降.
(1)本周星期______河流的水位最高,水位在警戒水位之______(上或下);星期______河流的水位最低,水位在警戒水位之______(上或下);
(2)與上周相比,本周末河流水位是______(上升了或下降了);
(3)完成上面的實(shí)際水位記錄;
(4)以警戒水位為0點(diǎn),用折線統(tǒng)計(jì)圖(如圖2)表示本周的水位情況.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,E為邊AB的中點(diǎn),將△CBE沿CE翻折得到△CFE,連接AF,若∠EAF=70°,那么∠BCF=______度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,點(diǎn)D、E分別在BC、AC上,且BD=CE,設(shè)點(diǎn)C關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為F,若DF∥AB,則BD的長(zhǎng)為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過(guò)重會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)生對(duì)待學(xué)習(xí)的態(tài)度.為此我市教育部門對(duì)部分學(xué)校的八年級(jí)學(xué)生對(duì)待學(xué)習(xí)的態(tài)度進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查(把學(xué)習(xí)態(tài)度分為三個(gè)層級(jí),A級(jí):對(duì)學(xué)習(xí)很感興趣;B級(jí):對(duì)學(xué)習(xí)較感興趣;C級(jí):對(duì)學(xué)習(xí)不感興趣),并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖①和圖②的統(tǒng)計(jì)圖(不完整).請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)此次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)將圖①補(bǔ)充完整;
(3)求出圖②中C級(jí)所占的圓心角的度數(shù);
(4)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果,請(qǐng)你估計(jì)我市近8000名八年級(jí)學(xué)生中大約有多少名學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度達(dá)標(biāo)(達(dá)標(biāo)包括A級(jí)和B級(jí))?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)已知二次函數(shù)y=x2-2x-3,請(qǐng)你化成y=(x-h)2+k的形式為____________,并在直角坐標(biāo)系中畫出y=x2-2x-3的圖象;
(2)如果A(x1,y1),B(x2,y2)是(1)中圖象上的兩點(diǎn),且x1<x2<1,請(qǐng)直接寫出y1、y2的大小關(guān)系為___________;
(3)利用(1)中的圖象表示出方程x2-2x-1=0的根來(lái),要求保留畫圖痕跡,說(shuō)明解題思路即可,不用計(jì)算結(jié)果。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,拋物線m:y=ax2+b(a<0,b>0)與x軸于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.將拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線n,它的頂點(diǎn)為C1,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A1.
(1)當(dāng)a=-1,b=1時(shí),求拋物線n的解析式;
(2)四邊形AC1A1C是什么特殊四邊形,請(qǐng)寫出結(jié)果并說(shuō)明理由;
(3)若四邊形AC1A1C為矩形,請(qǐng)求出a,b應(yīng)滿足的關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
根據(jù)聯(lián)合國(guó)《人口老齡化及其社會(huì)經(jīng)濟(jì)后果》中提到的標(biāo)準(zhǔn),當(dāng)一個(gè)國(guó)家或地區(qū)65歲及以上老年人口數(shù)量占總?cè)丝诒壤^(guò)7%時(shí),意味著這個(gè)國(guó)家或地區(qū)進(jìn)入老齡化。從經(jīng)濟(jì)角度,一般可用“老年人口撫養(yǎng)比”來(lái)反映人口老齡化社會(huì)的后果。所謂“老年人口撫養(yǎng)比”是指某范圍人口中,老年人口數(shù)(65歲及以上人口數(shù))與勞動(dòng)年齡人口數(shù)(15-64歲人口數(shù))之比,通常用百分比表示,用以表明每100名勞動(dòng)年齡人口要負(fù)擔(dān)多少名老年人。
以下是根據(jù)我國(guó)近幾年的人口相關(guān)數(shù)據(jù)制作的統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表。
2011-2014年全國(guó)人口年齡分布圖
2011-2014年全國(guó)人口年齡分布表
2011年 | 2012年 | 2013年 | 2014年 | |
0-14歲人口占總?cè)丝诘陌俜直?/span> | 16.4% | 16.5% | 16.4% | 16.5% |
15-64歲人口占總?cè)丝诘陌俜直?/span> | 74.5% | 74.1% | 73.9% | 73.5% |
65歲及以上人口占總?cè)丝诘陌俜直?/span> | m | 9.4% | 9.7% | 10.0% |
*以上圖表中數(shù)據(jù)均為年末的數(shù)據(jù)。
根據(jù)以上材料解答下列問(wèn)題:
(1)2011年末,我國(guó)總?cè)丝诩s為_______億,全國(guó)人口年齡分布表中m的值為_______;
(2)若按目前我國(guó)的人口自然增長(zhǎng)率推測(cè),到2027年末我國(guó)約有14.60億人。假設(shè)0-14歲人口占總?cè)丝诘陌俜直纫恢狈(wěn)定在16.5%,15-64歲的人口一直穩(wěn)定在10億,那么2027年末我國(guó)0-14歲人口約為_______億,“老年人口撫養(yǎng)比”約為_______; (精確到1%)
(3)2016年1月1日起我國(guó)開始施行“全面二孩”政策,一對(duì)夫妻可生育兩個(gè)孩子。在未來(lái)10年內(nèi),假設(shè)出生率顯著提高,這_______(填“會(huì)”或“不會(huì)”)對(duì)我國(guó)的“老年人口撫養(yǎng)比”產(chǎn)生影響。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,四邊形ABCD為矩形,,,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),點(diǎn)P在AB上以每秒2個(gè)單位的速度由A向B運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),__________________(用代數(shù)式表示);
(2)t為何值時(shí),四邊形PDEB是平行四邊形:
(3)在直線AB上是否存在點(diǎn)Q,使以D、E、Q、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,求出t的值:若不存在,說(shuō)明理由.
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