【題目】已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,連接AF,M是AF的中點(diǎn),連接MB、ME.
(1)如圖1,當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí),求證:MB∥CF;
(2)如圖1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的長;
(3)如圖2,當(dāng)∠BCE=45°時(shí),求證:BM=ME.
【答案】(1)證明見解析;(2)BM=ME=;(3)證明見解析.
【解析】
(1)如圖1,延長AB交CF于點(diǎn)D,證明BM為△ADF的中位線即可.
(2)如圖2,作輔助線,推出BM、ME是兩條中位線.
(3)如圖3,作輔助線,推出BM、ME是兩條中位線:BM=DF,ME=AG;然后證明△ACG≌△DCF,得到DF=AG,從而證明BM=ME.
(1)如圖1,延長AB交CF于點(diǎn)D,則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD.
∴點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn).
又∵點(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn),
∴BM為△ADF的中位線.
∴BM∥CF.
(2)如圖2,延長AB交CF于點(diǎn)D,則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD=a,AC=AD=a,
∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn),又點(diǎn)M為AF中點(diǎn).
∴BM=DF.
分別延長FE與CA交于點(diǎn)G,則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形,
∴CE=EF=GE=2a,CG=CF=a.
∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn),又點(diǎn)M為AF中點(diǎn).
∴ME=AG.
∵CG=CF=a,CA=CD=a,∴AG=DF=a.
∴BM=ME=.
(3)如圖3,延長AB交CE于點(diǎn)D,連接DF,則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD,AC=CD.
∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn).
又點(diǎn)M為AF中點(diǎn),∴BM=DF.
延長FE與CB交于點(diǎn)G,連接AG,則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形,
∴CE=EF=EG,CF=CG.
∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn).
又點(diǎn)M為AF中點(diǎn),∴ME=AG.
在△ACG與△DCF中,∵,
∴△ACG≌△DCF(SAS).
∴DF=AG,∴BM=ME.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】紅星中學(xué)九年級(jí)(1)班三位教師決定帶領(lǐng)本班名學(xué)生利用假期去某地旅游,楓江旅行社的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為:教師全價(jià),學(xué)生半價(jià);而東方旅行社不管教師還是學(xué)生一律八折優(yōu)惠,這兩家旅行社的全價(jià)都是500元。
(1)用含的式子表示三位教師和位學(xué)生參加這兩家旅行社所需的費(fèi)用各是多少元;
(2)如果=50時(shí),請你計(jì)算選擇哪一家旅行社較為合算?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系△ABC是格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上)
(1)先作△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的△A1B1C1,再把△A1B1C1向上平移4個(gè)單位長度得到△A2B2C2;
(2)△A2B2C2與△ABC是否關(guān)于某點(diǎn)成中心對稱?若是,直接寫出對稱中心的坐標(biāo);若不是,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的頂點(diǎn)P在對角線AC上(點(diǎn)P與A、C不重合),QP與BC交于E,QP延長線與AD交于點(diǎn)F,連接CQ.
(1)①求證:AP=CQ;②求證:PA2=AFAD;
(2)若AP:PC=1:3,求tan∠CBQ.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究,探究過程如下,請補(bǔ)充完整:
(1)自變量x的取值范圍是 ;
(2)下表是y與x的幾組對應(yīng)數(shù)值:
①寫出m的值為 ;
②在平面直角坐標(biāo)系中,描出了以表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn). 根據(jù)描出的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象;
(3)當(dāng)時(shí),直接寫出x的取值范圍為 .
(4)結(jié)合函數(shù)的圖象,寫出該函數(shù)的一條性質(zhì): .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系上有點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)A第一次跳動(dòng)至點(diǎn),第二次點(diǎn)跳動(dòng)至點(diǎn)第三次點(diǎn)跳動(dòng)至點(diǎn),第四次點(diǎn)跳動(dòng)至點(diǎn)……,依此規(guī)律跳動(dòng)下去,則點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是( )
A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中有 A(-2,1), B(3, 1),C(2, 3)三點(diǎn),請回答下列問題:
(1)在坐標(biāo)系內(nèi)描出點(diǎn)A, B, C的位置.
(2)畫出關(guān)于直線x=-1對稱的,并寫出各點(diǎn)坐標(biāo).
(3)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使以A,B, P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為10?若存在,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo):若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(幾何背景)如圖1,AD為銳角△ABC的高,垂足為D.求證:AB2﹣AC2=BD2﹣CD2
(知識(shí)遷移)如圖2,矩形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)P,連接PA、PB、PC、PD,請寫出PA、PB、PC、PD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(拓展應(yīng)用)如圖3,矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P,PC⊥PD,若PA=a,PB=b,AB=c,且a、b、c滿足a2﹣b2=c2,則的值為 (請直接寫出結(jié)果)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長為正方形OABC的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上.在軸上線段(Q在A的右邊),P從A出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度向O運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.連接PB,過P作PB的垂線,過Q作軸的垂線,兩垂線相交于點(diǎn)D.連接BD交軸于點(diǎn)E,連接PD交軸于點(diǎn)F,連接PE.
(1)求∠PBD的度數(shù).
(2)設(shè)△POE的周長為,探索與的函數(shù)關(guān)系式,并寫出的取值范圍.
(3)令,當(dāng)△PBE為等腰三角形時(shí),求△EFD的面積.
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