Question

15．小聰與同桌小明在課下學(xué)習(xí)中遇到這樣一道數(shù)學(xué)題：“如圖（1），在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且ED=EC，試確定線(xiàn)段AE與DB的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由”．小敏與小穎討論后，進(jìn)行了如下解答：

（1）取特殊情況，探索討論：
當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖（2），確定線(xiàn)段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你寫(xiě)出結(jié)論：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”），并說(shuō)明理由．
（2）特例啟發(fā)，解答題目：
解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如圖（3），過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請(qǐng)你將剩余的解答過(guò)程完成）
（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題：
在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上，點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上，且ED=EC，若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，則CD的長(zhǎng)為3或1．（請(qǐng)你畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，過(guò)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，則可證明△BDE≌△FEC，進(jìn)而得到AE=DB；
（2）過(guò)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，可利用AAS證明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再證明△AEF是等邊三角形，可得到AE=EF，進(jìn)而得出AE=DB；
（3）分兩種情況：點(diǎn)E在AB上和在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，作輔助線(xiàn)，證明△BDE≌△FEC，得到BD=EF，求出EF的長(zhǎng)度，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）AE=DB，
理由如下：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵三角形ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
∴∠EDC=30°，
∴∠D=∠DEB=30°，
∴DB=BE，
∵AE=BE，
∴AE=DB，
故答案為：=；

（2）如圖3，∵△ABC為等邊三角形，且EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠FEC=∠ECB，
∴∠EFC=∠DBE=120°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB，∠D=∠FEC，
在△EFC與△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEC=∠D}\\{∠EFC=∠DBE}\\{EC=DE}\end{array}\right.$，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF=DB，
∵∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF為等邊三角形，
∴AE=EF，AE=BD，
故答案為：=；

（3）如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，
則∠DCE=∠CEF，∠DBE=∠AEF，∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠AFE，
∵△ACB為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DBE=∠EFC，而ED=EC，
∴∠D=∠DCE，∠D=∠CEF，
在△BDE與△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEC=∠D}\\{∠EFC=∠DBE}\\{EC=DE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∵△AEF為等邊三角形，
∴AE=EF=2，BD=EF=2，
∴CD=1+2=3；
如圖5，當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，
類(lèi)似上述解法，同理可證：DB=EF=2，BC=1，
∴CD=2-1=1，
故答案為：3或1．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)；解題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)，靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷．