【題目】如圖,已知拋物線y=ax2x+cx軸相交于A、B兩點(diǎn),并與直線y=x﹣2交于B、C兩點(diǎn),其中點(diǎn)C是直線y=x﹣2y軸的交點(diǎn),連接AC.

(1)求拋物線的解析式;

(2)證明:△ABC為直角三角形;

(3)ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFG?(頂點(diǎn)D、E、F、G在△ABC各邊上)若能,求出最大面積;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=x2x﹣2;(2)解析;(3)ABC內(nèi)部可截出面積最大的矩形DEFG,面積為

【解析】分析:求出點(diǎn)的坐標(biāo),用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可.

分別求出的長(zhǎng)度,用勾股定理逆定理判定即可.

在直角三角形中截出矩形,面積最大,我們易得兩種情形,①一點(diǎn)為CAB、ACBC邊上各有一點(diǎn),②AB邊上有兩點(diǎn),AC、BC邊上各有一點(diǎn).討論時(shí)可設(shè)矩形一邊長(zhǎng)x,利用三角形相似等性質(zhì)表示另一邊,進(jìn)而描述面積函數(shù).利用二次函數(shù)最值性質(zhì)可求得最大面積.

詳解:(1)∵直線x軸、y軸于B.C兩點(diǎn),

B(4,0),C(0,2),

過(guò)B.C兩點(diǎn),

解得,

(2)證明:如圖1,連接AC

x負(fù)半軸交于A點(diǎn),

A(1,0),

RtAOC中,

AO=1,OC=2,

RtBOC中,

BO=4,OC=2,

AB=AO+BO=1+4=5,

∴△ABC為直角三角形.

(3)ABC內(nèi)部可截出面積最大的矩形DEFG,面積為,理由如下:

①一點(diǎn)為C,ABAC、BC邊上各有一點(diǎn),如圖2,此時(shí)△AGF∽△ACB∽△FEB.

設(shè)

,

即當(dāng)時(shí),S最大,

AB邊上有兩點(diǎn),ACBC邊上各有一點(diǎn),如圖3,此時(shí)△CDE∽△CAB∽△GAD,

設(shè)GD=x

,

,

x=1時(shí),S最大,

綜上所述,ABC內(nèi)部可截出面積最大的矩形DEFG,面積為

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3)求△AOC的面積;

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一戶居民一個(gè)月用電量

電費(fèi)價(jià)格(元/千瓦時(shí))

第一檔

不超過(guò)200千瓦時(shí)

0.52

第二檔

超過(guò)200千瓦時(shí)但不超過(guò)320千瓦時(shí)

第三檔

超過(guò)320千瓦時(shí)

0.95

1)求上表中的的值;

2)若該市居民乙某月交電費(fèi)220元,居民乙當(dāng)月的生活用電量為多少千瓦時(shí)?

3)實(shí)行階梯電價(jià)收費(fèi)后,該市居民丙月用電量為多少千瓦時(shí),其當(dāng)月的平均電價(jià)為0.55/千瓦時(shí)?

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