Question

17．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD為△ABC的中線，作CO⊥AB于O，點E在CO延長線上，DE=AD，連接BE、DE．

（1）求證：四邊形BCDE為菱形；
（2）把△ABC分割成三個全等的三角形，需要兩條分割線段，若AC=6，求兩條分割線段長度的和．

Answer 1

分析 （1）容易證三角形BCD為等邊三角形，又DE=AD=BD，再證三角形DBE為等邊三角形四邊相等的四邊形BCDE為菱形．
（2）畫出圖形，證出BM+MN=AM+MC=AC=6即可．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，CD為△ABC的中線，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠BDC=30°+30°=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∵CO⊥AB，
∴OD=OB，
∴DE=BE，
∵DE=AD，
∴CD=BC=DE=BE，
∴四邊形BCDE為菱形；
（2）解：作∠ABC的平分線交AC于N，再作MN⊥AB于N，如圖所示：
則MN=MC=$\frac{1}{2}$BM，∠ABM=∠A=30°，
∴AM=BM，
∵AC=6，
∴BM+MN=AM+MC=AC=6；
即兩條分割線段長度的和為6．

點評 本題考查了菱形的判定、等邊三角形的判定、角平分線的性質等知識；熟練掌握菱形的性質和直角三角形的性質是解決問題的關鍵．