Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，2），將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△OCD，拋物線y=ax²-2ax+4經(jīng)過點(diǎn)A．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并判斷點(diǎn)D是否在該拋物線上；
（2）如圖2，若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使|PC-PD|的值最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線上是否存在點(diǎn)E，使△CDE是以CD為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A點(diǎn)（4，0）代入解析式得出拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)D是否在該拋物線上．
（2）求|PC-PD|的值最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，應(yīng)延長CD交對(duì)稱軸于點(diǎn)P．因?yàn)閨PC-PD|小于或等于第三邊即CD，當(dāng)|PC-PD|等于CD時(shí)，|PC-PD|的值最大．
（3）假設(shè)存在這樣一個(gè)點(diǎn)E，（x，-

1

2

x²+x+4），利用勾股定理可以求出．

解答：解：（1）∵y=ax²-2ax+4經(jīng)過點(diǎn)A，
A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）
∴解析式為：y=-

1

2

x²+x+4
∵△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△OCD，∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0）
代入y=-

1

2

x²+x+4可得，D點(diǎn)在解析式上．

（2）如圖1：
∵在三角形PCD中，由兩邊之差小于第三邊，
∴|PC-PD|＜CD，當(dāng)P在線段DC延長線上時(shí)，|PC-PD|的值最大，為CD的長，
過C（0，4），D（-2，0）的直線為y=2x+4，
∵當(dāng)x=1時(shí)，y=2×1+4=6，
∴拋物線對(duì)稱軸交點(diǎn)為（1，6），
∴|PC-PD|的值最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，6）；

（3）如圖2，假設(shè)存在這樣一個(gè)點(diǎn)E，（x，-

1

2

x²+x+4），使△CDE是以CD為直角邊的直角三角形，
故EF²+CF²=CE²，EG²+DG²=DE²
∴EC²+CD²=DE²
∴DE²=EF²+CF²+OC²+DO²
∴x²+[4-（-

1

2

x²+x+4）]²+20=（-

1

2

x²+x+4）²+（x+2）²
∴整理得：4x²-12x=0（2）
解得：x₁=0（不合題意舍去），x₂=3
代入（x，-

1

2

x²+x+4），得（3，

5

2

）
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（3，

5

2

）．
∴拋物線上存在點(diǎn)E，使△CDE是以CD為直角邊的直角三角形．
如圖3，假設(shè)存在這樣一個(gè)點(diǎn)E′（x，-

1

2

x²+x+4），使△CDE是以CD為直角邊的直角三角形，
作E′F⊥x軸于點(diǎn)F，E′N⊥y軸于點(diǎn)N，
故E′F²+DF²=DE^′2，CN²+NE′²=CE^′2，OD²+CO²=DC²，
∴CE^′2=E′F²+DF²+OC²+DO²
∴x²+[4-（-

1

2

x²+x+4）]²=20+（-

1

2

x²+x+4）²+（x+2）²
∴整理得：x²-3x-10=0
解得：x₁=-2（不合題意舍去），x₂=5，
代入（x，-

1

2

x²+x+4），得（5，-3.5）
∴E′點(diǎn)坐標(biāo)為（5，-3.5）．
∴拋物線上存在點(diǎn)E（5，-3.5），（3，

5

2

），使△CDE是以CD為直角邊的直角三角形

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了：
（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，即A點(diǎn)（4，0）代入y=ax²-2ax+4，
（2）勾股定理的應(yīng)用和作對(duì)稱點(diǎn)問題，綜合性較強(qiáng)．