Question

【題目】如圖，拋物線C1的圖象與x軸交A(﹣3，0)，B(1，0)兩點，與y軸交于點C(0，3)點D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線C1的解析式；

（2）將拋物線C1關于直線x＝1對稱后的拋物線記為C2，將拋物線C1關于點B對稱后的拋物線記為C3，點E為拋物線C3的頂點，在拋物線C2的對稱軸上是否存在點F，使得△BEF為等腰三角形？若存在請求出點F的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在，當點F為(3，﹣4+2)或(3，﹣4﹣2)或(3，4)或(3，﹣)時，使得△BEF為等腰三角形

【解析】

（1）將A、B、C三點代入一般式，即可求出解析式；

（2）由折疊的性質和旋轉的性質可求拋物線C2解析式和拋物線C3解析式，可得點E坐標，由等腰三角形的性質可求點F坐標．

解：（1）設解析式y＝a（x﹣1）（x+3）

將C（0，3）代入得 a＝﹣1

∴拋物線C1的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵拋物線C1的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；

∴拋物線C1的頂點為（﹣1，4）

∵將拋物線C1關于直線x＝1對稱后的拋物線記為C2，將拋物線C1關于點B對稱后的拋物線記為C3，

∴拋物線C2解析式為：y＝﹣（x﹣3）2+4，拋物線C3解析式為：y＝（x﹣3）2﹣4，

∵點E為拋物線C3的頂點，

∴點E（3，﹣4），

∴BE= ，

∵點F拋物線C2的對稱軸上，

∴點F橫坐標為3，

若BE＝EF＝2，則點F坐標為（3，﹣4+2）或（3，﹣4﹣2），

若BE＝BF時，則點F與點E關于x軸對稱，

∴點F（3，4），

若BF＝EF時，則22+（4﹣EF）2＝BF2，

∴BF＝EF＝，

∴點F（3，﹣），

綜上所述：當點F為（3，﹣4+2）或（3，﹣4﹣2）或（3，4）或（3，﹣）時，使得△BEF為等腰三角形