Question

【題目】如圖，在在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，且AD＝12cm，AB＝8cm，DC＝10cm，若動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)以每秒3cm的速度沿CB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，并運(yùn)動(dòng)了t秒，回答下列問題：

（1）BC＝　 　cm；

（2）當(dāng)t＝　 　秒時(shí)，四邊形PQBA成為矩形．

（3）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）18；（2）；（3）存在t，使得△DQC是等腰三角形，此時(shí)t的值為秒或4秒或秒．

【解析】

（1）作DE⊥BC于E，則四邊形ABED為矩形．在直角△CDE中，已知DC、DE的長，根據(jù)勾股定理可以計(jì)算EC的長度，根據(jù)BC＝BE+EC即可求出BC的長度；

（2）當(dāng)PA＝BQ時(shí)，四邊形PQBA為矩形，根據(jù)PA＝QB列出關(guān)于t的方程，解方程即可；

（3）因?yàn)槿�邊中，每兩條邊都有相等的可能，所以應(yīng)考慮三種情況．結(jié)合路程＝速度×?xí)r間求得其中的有關(guān)的邊，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識(shí)求解．

解：根據(jù)題意得：PA＝2t，CQ＝3t，則PD＝AD﹣PA＝12﹣2t，

（1）如圖，過D點(diǎn)作DE⊥BC于E，則四邊形ABED為矩形，DE＝AB＝8cm，AD＝BE＝12cm，

在直角△CDE中，∵∠CED＝90°，DC＝10cm，DE＝8cm，

∴EC＝＝6cm，

∴BC＝BE+EC＝18cm．

故答案為18；

（2）∵AD∥BC，∠B＝90°

∴當(dāng)PA＝BQ時(shí)，四邊形PQBA為矩形，

即2t＝18﹣3t，

解得t＝秒，

故當(dāng)t＝秒時(shí)四邊形PQBA為矩形；

故答案為

（3）△DQC是等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：

①當(dāng)QC＝DC時(shí)，即3t＝10，

∴t＝；

②當(dāng)DQ＝DC時(shí)，＝6，

∴t＝4；

③當(dāng)QD＝QC時(shí)，3t＝5，

∴t＝．

故存在t，使得△DQC是等腰三角形，此時(shí)t的值為秒或4秒或秒．