Question

【題目】如圖，已知：在平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=4，∠ABC=60°，E為AD上一點，連接CE，AF∥CE且交BC于點F．

（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形．

（2）證明：△AFB≌△CE D．

（3）DE等于多少時，四邊形AECF為菱形．

（4）DE等于多少時，四邊形AECF為矩形．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)DE=2;(4)DE=1.

【解析】

（1）根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形進行證明即可得；

（2）根據(jù)ABCD為平行四邊形，可得AB=CD， AD=BC，再根據(jù)AECF為平行四邊形，可得AF=CE，AE=FC，繼而可得DE=BF，根據(jù)SSS即可證明△AFB≌△CED；

（3）當(dāng)DE=2時，AECF為菱形，理由：由AB=DC=2，∠ABC=∠EDC=60°可得△EDC為等邊三角形，繼而可得到AE=EC，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得；

（4）當(dāng)DE=1時，AECF為矩形，理由：若AECF為矩形則有∠DEC=90°，再根據(jù)DC=2，∠D=60°，則可得∠DCE=30°，繼而可得DE=1.

（1）∵為平行四邊形，∴，即，

又∵(已知)，∴為平行四邊形；

（2）∵為平行四邊形，∴， ，

∵為平行四邊形，∴，

∴，

在與中，

，

∴；

(3)當(dāng)時，為菱形，理由如下：

∵，

∴為等邊三角形，，，即：，

∴平行四邊形為菱形；

（4）當(dāng)時，為矩形，理由如下：

若為矩形得：，

∵，，

∴，∴.