【題目】如圖1,AB是☉O的直徑,C為☉O上一點,直線CD與☉O相切于點C,AD⊥CD,垂足為D.
(1)求證:△ACD∽△ABC.
(2)如圖2,將直線CD向下平移與☉O相交于點C,G,但其他條件不變.若AG=4,BG=3,求tan∠CAD的值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)連接OC,求出∠ADC=∠ACB,∠DCA=∠B,根據(jù)相似三角形的判定推出即可;
(2)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可.
試題解析:(1)如圖,連接OC,
∵直線CD與☉O相切于C,∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD,∴AD∥OC,∴∠1=∠2.
∵OC=OA,∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.
又∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90°.
∴∠ADC=∠ACB.
∴△ACD∽△ABC.
(2)∵四邊形ABGC為☉O的內(nèi)接四邊形,
∴∠B+∠ACG=180°.
∵∠ACG+∠ACD=180°,∴∠ACD=∠B.
∵∠ADC=∠AGB=90°,∴∠DAC=∠GAB.
在Rt△ABG中,AG=4,BG=3,
∴tan∠GAB==.
∴tan∠DAC=.
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【題目】如圖,已知中,,點以每秒1個單位的速度從向運動,同時點以每秒2個單位的速度從向方向運動,到達點后,點也停止運動,設(shè)點運動的時間為秒.
(1)求點停止運動時,的長;
(2) 兩點在運動過程中,點是點關(guān)于直線的對稱點,是否存在時間,使四邊形為菱形?若存在,求出此時的值;若不存在,請說明理由.
(3) 兩點在運動過程中,求使與相似的時間的值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(8,1),B(0,﹣3),反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點A,動直線x=t(0<t<8)與反比例函數(shù)的圖象交于點M,與直線AB交于點N.
(1)求k的值;
(2)當(dāng)t=4時,求△BMN面積;
(3)若MA⊥AB,求t的值.
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【題目】如圖,在四邊形是邊長為4的正方形點P為OA邊上任意一點(與點不重合),連接CP,過點P作,且,過點M作,交于點聯(lián)結(jié),設(shè).
(1)當(dāng)時,點的坐標為( , )
(2)設(shè),求出與的函數(shù)關(guān)系式,寫出函數(shù)的定義域。
(3)在軸正半軸上存在點,使得是等腰三角形,請直接寫出不少于4個符合條件的點的坐標(用的式子表示)
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2cm.現(xiàn)在將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C′,使得點A′恰好落在AB上,連接BB′,則BB′的長度為_____.
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【題目】若一數(shù)軸上存在兩動點,當(dāng)?shù)谝淮蜗嘤龊,速度都變(yōu)樵瓉淼膬杀,第二次相遇后又都能恢?fù)到原來的速度,則稱這條數(shù)軸為魔幻數(shù)軸.
如圖,已知一魔幻數(shù)軸上有A,O,B三點,其中A,O對應(yīng)的數(shù)分別為﹣10,0,AB為47個單位長度,甲,乙分別從A,O兩點同時出發(fā),沿數(shù)軸正方向同向而行,甲的速度為3個單位/秒,乙的速度為1個單位/秒,甲到達點B后以當(dāng)時速度立即返回,當(dāng)甲回到點A時,甲、乙同時停止運動.
問:(1)點B對應(yīng)的數(shù)為 ,甲出發(fā) 秒后追上乙(即第一次相遇)
(2)當(dāng)甲到達點B立即返回后第二次與乙相遇,求出相遇點在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少?
(3)甲、乙同時出發(fā)多少秒后,二者相距2個單位長度?(請直接寫出答案)
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【題目】實踐探究題
(1)觀察下列有規(guī)律的數(shù):,,,,,…根據(jù)規(guī)律可知
①第10個數(shù)是________; 是第________個數(shù).
②計算________.(直接寫出答案即可)
(2)是不為1的有理數(shù),我們把稱為的差倒數(shù).如:2的差倒數(shù)是,的差倒數(shù)是.已知,是的差倒數(shù),是的差倒數(shù),是的差倒數(shù),…,依此類推,是的差倒數(shù),則 ________.
(3)高斯函數(shù)[x],也稱為取整函數(shù),即[x]表示不超過x的最大整數(shù).
例如:[2.3]=2,[-1.5]=-2.則下列結(jié)論:①[-2.1]+[1]=-2; ②[x]+[-x]=0
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【題目】如圖,直線AB、CD相交于點O,OE平分∠BOD.
(1)若∠AOC=68°,∠DOF=90°,求∠EOF的度數(shù).
(2)若OF平分∠COE,∠BOF=30°,求∠AOC的度數(shù).
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【題目】七年級開展演講比賽,學(xué)校決定購買一些筆記本和鋼筆作為獎品.現(xiàn)有甲、乙兩家商店出售兩種同樣的筆記本和鋼筆.他們的定價相同:筆記本定價為每本25元,鋼筆每支定價6元,但是他們的優(yōu)惠方案不同,甲店每買一本筆記本贈一支鋼筆;乙店全部按定價的9折優(yōu)惠.已知七年級需筆記本20本,鋼筆x支(大于20支).問:
(1)在甲店購買需付款 元,在乙店購買需付款 元;
(2)若x=30,通過計算說明此時到哪家商店購買較為合算?
(3)當(dāng)x=40時,請設(shè)計一種方案,使購買最省錢?算出此時需要付款多少元?
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