【題目】【問題情境】
課外興趣小組活動時,老師提出了如下問題:
如圖①,△ABC中,若AB=12,AC=8,求BC邊上的中線AD的取值范圍.
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:延長AD至點E,使DE=AD,連接BE.請根據(jù)小明的方法思考:
(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB,依據(jù)是 .
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
(2)由“三角形的三邊關系”可求得AD的取值范圍是 .
解后反思:題目中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件,可考慮延長中線構造全等三角形,把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形之中.
【初步運用】
如圖②,AD是△ABC的中線,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.若EF=3,EC=2,求線段BF的長.
【靈活運用】
如圖③,在△ABC中, ∠A=90°,D為BC中點, DE⊥DF,DE交AB于點E,DF交AC于點F,連接EF.試猜想線段BE、CF、EF三者之間的等量關系,并證明你的結論.
【答案】【問題提出】(1)B;(2)2<AD<10;【初步運用】5;【靈活運用】猜想:BE2+CF2=EF2,證明見解析.
【解析】試題分析:【問題提出】(1)根據(jù)AD=DE,∠ADC=∠BDE,BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可;(2)根據(jù)全等得出BE=AC=8,AE=2AD,由三角形三邊關系定理得出12-8<2AD<12+8,求出即可;
【初步運用】延長AD到M,使AD=DM,連接BM,根據(jù)SAS證△ADC≌△MDB,推出BM=AC,∠CAD=∠M,根據(jù)AE=EF,推出∠CAD=∠AFE=∠BFD,求出∠BFD=∠M,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可;
【靈活運用】延長FD至G,使得DG=DF,連接BG、EG,根據(jù)SAS證△FDC≌△GDB,由全等三角形的性質(zhì)得到CF=BG,∠FCD=∠GBD,由線段垂直平分線的性質(zhì)得EF=EG,由同角的余角相等證∠EBG=90°,在Rt△EBG中用勾股定理即可得證.
試題解析:
【問題提出】(1)∵在△ADC和△EDB中,AD=DE,∠ADC=∠BDE,BD=CD,
∴△ADC≌△EDB(SAS),
故選B;
(2)∵由(1)知:△ADC≌△EDB,
∴BE=AC=8,AE=2AD,
∵在△ABE中,AB=12,由三角形三邊關系定理得:128<2AD<12+8,
∴2<AD<10,
故答案為:2<AD<10;
【初步運用】
如圖,延長AD到M,使DM=AD,連接BM
∵AD是△ABC中線
∴BD=DC
又∵∠ADC=∠MDB
∴△ADC≌△MDB
∴BM=AC,∠CAD=∠M
∵AE=EF
∴∠CAD=∠AFE
∵∠AFE=∠BFD
∴∠BFD=∠CAD=∠M
∴BF=BM=AC=3+2=5;
【靈活運用】
猜想:BE2+CF2=EF2
理由:如圖,延長FD至G,使得DG=DF,連接BG、EG,則△FDC≌△GDB.
∴CF=BG,∠FCD=∠GBD,
∵DF=DG,DE⊥DF,
∴EF=EG,
在△ABC中,∵∠A=90°,
∴∠EBC+∠FCB=90°,
∴∠EBC+∠GBD=90°,即∠EBG=90°,
∴在Rt△EBG中,BE2+BG2=EG2,
∴BE2+CF2=EF2.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,小紅家陽臺上放置了一個曬衣架.如圖2是曬衣架的側面示意圖,立桿AB、CD相交于點O,B、D兩點立于地面,經(jīng)測量:AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開,扣鏈EF成一條直線,且EF=32cm.
(1)求證:AC∥BD;
(2)求扣鏈EF與立桿AB的夾角∠OEF的度數(shù)(精確到0.1°);
(3)小紅的連衣裙穿在衣架后的總長度達到122cm,垂掛在曬衣架上是否會拖落到地面?請通過計算說明理由.
(參考數(shù)據(jù):sin61.9°≈0.882,cos61.9°≈0.471,tan61.9°≈0.553;可使用科學計算器)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】點E(a,b)到x軸的距離是4,到y(tǒng)軸距離是3,則有( )
A.a=3,b=4
B.a=±3,b=±4
C.a=4,b=3
D.a=±4,b=±3
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D為AB邊的中點,∠EDF=90°,∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AC,CB(或它們的延長線)于E、F,當∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時(如圖1),易證.
當∠EDF繞點旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時,在圖2和圖3這兩種情況下,上述結論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,、、又有怎樣的數(shù)量關系?請寫出你的猜想,不需證明.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=6 cm,動點P從點C出發(fā),以每秒2 cm的速度按C→A的路徑運動,設運動時間為t秒.
(1)出發(fā)2秒時,△ABP的面積為 cm2;
(2)當t為何值時,BP恰好平分∠ABC?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某禮品制造工廠接受一批玩具的訂貨任務,按計劃天數(shù)生產(chǎn),如果每天生產(chǎn) 20 個玩具,則比訂貨任務少 100 個;如果每天生產(chǎn) 23 個玩具,則可以超過訂貨任務 20 個,請求出這批玩具的訂貨任務是多少個,原計劃幾天完成任務.
A. 40,800 B. 40,900 C. 50,800 D. 50,900
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某同學使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時,錯將其中一個數(shù)據(jù)108輸入為18,那么由此求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差是( 。
A. 3.5 B. 3 C. 0.5 D. ﹣3
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