Question

已知a、b是正數(shù)，且a+b=2，則

a2+1

+

b2+4

的最小值=

 

．

Answer 1

分析：由a+b=2，用a表示出b，將表示出的b代入所求的式子中，得到關(guān)于a的表達(dá)式，作出A關(guān)于直線l的對稱點C，連接BC交直線l與點P，此時利用兩點之間線段最短可得AP+PB=BC為最短，從而利用勾股定理，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為直角三角形兩斜邊AP、BP的和，即BC的長，即為所求式子的最小值，故在直角三角形BCF中，由BF和CF的長，利用勾股定理求出BC即可得到結(jié)果．

解答：解：∵a+b=2，
∴b=2-a，代入

a2+1

+

b2+4

，
得：

a2+1

+

(2-a)2+22

，
構(gòu)造如下圖形，如圖，其中ED=2，AE=2，BD=1，AE⊥l，BD⊥l，
作出A關(guān)于直線l的對稱點C，連接BC與直線l交于點P，此時AP+PB最短．
延長BD，過C作CF垂直于BC的延長線，垂足為F，
設(shè)PD=a，可得ED=2-a，
在Rt△AEP中，根據(jù)勾股定理得：
AP=

(2-a)2+22

，BP=

a2+1

，
則

a2+1

+

(2-a)2+22

=AP+BP，
當(dāng)B、P、C三點共線時，因為直線l為線段AC的垂直平分線，
則AP+BP=CP+PB=BC，此時BC的長即為所求式子的最小值，
此時在Rt△CBF中，DF=EC=AE=2，故BF=BD+DF=1+2=3，CF=ED=2，
由勾股定理可求得BC=

22+(2+1)2

=

13

，
則

a2+1

+

b2+4

的最小值為

13

．

點評：此題主要考查線段公理的應(yīng)用，以及構(gòu)造直角三角形，用勾股定理求解的策略，勾股定理的最大貢獻(xiàn)就是溝通“數(shù)”與“形”的關(guān)系，它的驗證和運用都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，運用勾股定理往往可以順利解決某些具有平方特征的代數(shù)問題．本題的思路為：構(gòu)造相應(yīng)的圖形，利用對稱知識將所求的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為線段BC的長度，進(jìn)而利用勾股定理來解決問題，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想．