【題目】如圖,BD是正方形ABCD的對(duì)角線,BC=2,邊BC在其所在的直線上平移,將通過平移得到的線段記為PQ,連結(jié)PA,QD,并過點(diǎn)Q作QO⊥BD,垂足為O,連結(jié)OA,OP.
(1)請(qǐng)直接寫出線段BC在平移過程中,四邊形APQD是什么四邊形?
(2)請(qǐng)判斷OA,OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并加以證明.
(3)在平移變換過程中,設(shè)y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式,并求出y的最大值.
【答案】(1)四邊形APQD為平行四邊形;(2)OA=OP,OA⊥OP.理由見解析;(3)①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí),y=-.,2;②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí),y=-+.2
【解析】試題分析:(1)根據(jù)平移的性質(zhì),可得PQ,根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,可得答案;
(2)根據(jù)正方形的性質(zhì),平移的性質(zhì),可得PQ與AB的關(guān)系,根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì),可得∠PQO,根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì),可得AO與OP的數(shù)量關(guān)系,根據(jù)余角的性質(zhì),可得AO與OP的位置關(guān)系;
(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可得OE的長(zhǎng),根據(jù)三角形的面積公式,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得到答案.
試題解析:
(1)四邊形APQD為平行四邊形.
(2)OA=OP,OA⊥OP.理由如下:
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=PQ,∠ABO=∠OBQ=45°.
∵OQ⊥BD,∴∠PQO=45°,
∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO,∴OB=OQ,
∴△AOB≌△OPQ(SAS).
∴OA=OP,∠AOB=∠POQ,
∴∠AOP=∠BOQ=90°,∴OA⊥OP.
(3)如解圖,過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E.
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí),
BQ=x+2,OE=,
∴y=··x
=-.
又∵0≤x≤2,
∴當(dāng)x=2時(shí),y有最大值2.
②如解圖②,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí),
BQ=2-x,OE=,
∴y=··x
=-+.
又∵0≤x≤2,
∴當(dāng)x=1時(shí),y有最大值.
綜上所述,y的最大值為2.
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(1)求證:△ABE≌△DCF;
(2)當(dāng)∠P滿足什么條件時(shí),四邊形BECF是菱形?證明你的結(jié)論.
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(2)如圖2,三條水平的直線被一條豎直的直線所截,同位角有__________對(duì),內(nèi)錯(cuò)角有__________對(duì),同旁內(nèi)角有__________對(duì);
(3)根據(jù)以上探究的結(jié)果,n(n為大于1的整數(shù))條水平直線被一條豎直直線所截,同位角有__________對(duì),內(nèi)錯(cuò)角有__________對(duì),同旁內(nèi)角有__________對(duì).(用含n的式子表示)
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(第10題)
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