Question

某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)反比例函及其圖象性質(zhì)的問題，時(shí)發(fā)現(xiàn)了三個(gè)重要結(jié)論．已知：A是反比例函數(shù)y=

k

x

（k為非零常數(shù)）的圖象上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖1過動(dòng)點(diǎn)A作AM⊥x軸，AN⊥y軸，垂足分別為M、N，求證：矩形OMAN的面積是定值；
（2）如圖2，過動(dòng)點(diǎn)A且與雙曲線有唯一公共點(diǎn)A的直線l與x軸交于點(diǎn)C，y軸交于點(diǎn)D，求證：△OCD的面積是定值；
（3）如圖3，若過動(dòng)點(diǎn)A的直線與雙曲線交于另一點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D．求證：AD=BC．（任選一種證明）

Answer 1

分析：（1）設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，按照矩形的面積公式求解即可；
（2）設(shè)直線CD的解析式為y=ax+b（a≠0），根據(jù)直線l與雙曲線有唯一公共點(diǎn)，可求出A點(diǎn)是CD的中點(diǎn)，繼而得出答案；
（3）設(shè)直線CD的解析式為y=ax+b（a≠0），可利用幾何法和代數(shù)法進(jìn)行求解．

解答：解：（1）圖中點(diǎn)A在第一象限，
設(shè)A（x_A，y_A ），OM=x_A，ON=y_A，
S_OMAN=OM•ON=x_A•y_A=k 　　　　　3分

（2）設(shè)直線CD的解析式為y=ax+b（a≠0），
則點(diǎn)C(-

b

a

，0)，D（（0，b），

y=ax+b y= k x

，ax2+bx-k=0，
圖象只有唯一公共點(diǎn)，解

x=- b 2a y= b 2

，
∴A(-

b

2a

，

b

2

)，
∴A是CD中點(diǎn)，由（1）中結(jié)論得S_△OCD=2k．3分

（3）幾何方法過點(diǎn)A、B分別向坐標(biāo)軸作垂線段由（1）中的結(jié)論得AE•AF=BG•BH，
∴

BG

AE

=

AF

BH

又BG∥AE，得

BG

AE

=

CB

CA

AF∥BH，得

AF

BH

=

DA

DB

得

CB

CA

=

DA

DB

，用比例的性質(zhì)得DA=BC4分．
代數(shù)方法設(shè)直線CD的解析式為y=ax+b（a≠0），
則點(diǎn)C(-

b

a

，0)，D((0，b)，
設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)AF=xA，GC=-

b

a

-xB，
又由ax2+bx-k=0，得xA+xB=-

b

a

，
得AF=CG，再可由全等證得DA=BC．
利用圖3（2）時(shí)注意點(diǎn)B的坐標(biāo)符號(hào)，其它方法略．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的知識(shí)，難度不大，注意善于總結(jié)這類綜合題的解題思路和方法．