Question

【題目】對于給定的兩個函數(shù)和，在這里我們把叫做這兩個函數(shù)的積函數(shù)，把直線和叫做拋物線的母線．

（1）直接寫出函數(shù)和的積函數(shù)，然后寫出這個積函數(shù)的圖象與x軸交點的坐標．

（2）點P在（1）中的拋物線上，過點P垂直于x軸的直線分別交此拋物線的母線于M、N兩點，設點P的橫坐標為m，求時m的值．

（3）已知函數(shù)和．當它們的積函數(shù)自變量的取值范圍是，且當時，這個積函數(shù)的最大值是8，求n的值以及這個積函數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）交于（3,0）（-1,0）

（2）m=1，

（3）n=3，y=-7

【解析】

（1）利用積函數(shù)的定義直接得出結(jié)論，最后令y=0，解方程即可求出與x軸的交點坐標；

（2）設出點P的坐標，進而表示出點M，N的坐標，即可求出PM，PN，最后用PM=PN建立方程求解即可得出結(jié)論；

（3）先確定出積函數(shù)，利用此函數(shù)的增減性，判斷出x=2時，y最大求出n，最后將x=-1代入拋物線解析式即可確定出最小值.

解：（1）∵函數(shù)y=x-3和y=-x-1，

∴函數(shù)y=x-3和y=-x-1的積函數(shù)為y=（x-3）（-x-1）=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3，

令y=0，

∴-（x+1）（x-3）=0，

∴x=-1或x=3，

∴積函數(shù)的圖象與x軸交點的坐標為（-1，0）和（3，0）；

（2）由（1）知，拋物線解析式為y=-x2+2x+3，設P（m，-m2+2m+3），

∵函數(shù)y=x-3和y=-x-1，

∴M（m，m-3），N（m，-m-1），

∴PM=|-m2+2m+3-（m-3）|=|m2-m-6|，

PN=|-m2+2m+3-（-m-1）|=|m2-3m-4|，

∵PM=PN，

∴|m2-m-6|=|m2-3m-4|，

∴m=1或m=1±；

（3）①∵函數(shù)y=x-2n和y=-x，

∴函數(shù)y=x-2n和y=-x積函數(shù)為y=（x-2n）（-x）=-x2+2nx=-（x-n）2+n2，

∵積函數(shù)自變量的取值范圍是-1≤x≤2，且當n≥2時，這個積函數(shù)的最大值是8，

∴當x=2時，yman=-4+4n=8，

∴n=3，

∴積函數(shù)的解析式為y=-x2+6x，

當x=-1時，ymin=-1-6=-7.