Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

k1

2x

的圖象與一次函數(shù)y=k₂x+b的圖象交于A，B兩點(diǎn)，A（1，n），B（-

1

2

，-2）．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形？若存在，請你直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)B（-

1

2

，-2）坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=

k1

2x

，求出反比例函數(shù)解析式．再求出A（1，n）的坐標(biāo)，根據(jù)A、B的坐標(biāo)，即可求得一次函數(shù)的解析式；
（2）以O(shè)為圓心，OA為半徑，交x軸于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)均符合點(diǎn)P的要求．以A為圓心，AO為半徑，交x軸于一點(diǎn)，作AO的垂直平分線，交x軸于一點(diǎn)，因此共有4個符合要求的點(diǎn)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B（-

1

2

，-2）在反比例函數(shù)y=

k1

2x

圖象上，
∴-2=

k1

2×(- 1 2 )

∴k₁=2
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

1

x

，（2分）
又∵A（1，n）在反比例函數(shù)圖象上，
∴n=

1

1

，
∴n=1；
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）；
∴一次函數(shù)y=k₂x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），B（-

1

2

，-2）；
∴

k2+b=1 - 1 2 k2+b=-2

，∴

k2=2 b=-1

；
∴一次函數(shù)的解析式為y=2x-1；（4分）

（2）存在符合條件的點(diǎn)P．（5分）
若OA=OP，則P（

2

，0）或（-

2

，0），
若AP=OA，則P（2，0），
若OP=AP，則（1，0），
可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

2

，0），（-

2

，0），（2，0），（1，0）．（7分）

點(diǎn)評：本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定、等腰三角形的判定等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．要注意（2）在不確定等腰三角形的腰和底的情況下要考慮到所有的情況，不要漏解．