【題目】已知:以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O,與斜邊AC交于點D,過點D作⊙O的切線交BC邊于點E.

(1)如圖,求證:EB=EC=ED;

(2)試問在線段DC上是否存在點F,滿足BC2=4DFDC?若存在,作出點F,并予以證明;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)見解析;(2)存在,理由見解析.

【解析】

(1)連接BD,已知ED、EB都是⊙O的切線,由切線長定理可證得OE垂直平分BD,而BDAC(圓周角定理),則OEAC;由于OAB的中點,可證得OEABC的中位線,即EBC中點,那么RtBDC中,DE就是斜邊BC的中線,由此可證得所求的結(jié)論;(2)由(1)知:BC=2BE=2DE,則所求的比例關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為(2=DFDC,即DE2=DFDC,那么只需作出與DEC相似的DFE即可,這兩個三角形的公共角為∠CDE,只需作出∠DEF=C即可;①∠DEC>C,即180°-2C>C,0°<C<60°時,∠DEFEF邊與線段CD相交,那么交點即為所求的F點;②∠DEC=C,即180°-2C=C,C=60°時,FC點重合,F點仍在線段CD上,此種情況也成立;③∠DEC<C,即180°-2C<C,60°<C<90°時,∠DEFEF邊與線段的延長線相交,與線段CD沒有交點,所以在這種情況下不存在符合條件的F點.

(1)證明:連接BD.
由于ED、EB是⊙O的切線,由切線長定理,得
ED=EB,DEO=BEO,
OE垂直平分BD.
又∵AB是⊙O的直徑,
ADBD.
ADOE.
OEAC.
OAB的中點,
OEABC的中位線,
BE=EC,
EB=EC=ED.
(2)解:在DEC中,由于ED=EC,
∴∠C=CDE,
∴∠DEC=180°﹣2C.
①當(dāng)∠DEC>C時,有180°﹣2C>C,即0°<C<60°時,在線段DC上存在點F
滿足條件.
在∠DEC內(nèi),以ED為一邊,作∠DEF,使∠DEF=C,且EFDC于點F,則點F即為所求.
這是因為:
DCEDEF中,∵∠CDE=EDF,C=DEF,
∴△DEF∽△DCE.
DE2=DFDC.即(BC)2=DFDC
BC2=4DFDC.
②當(dāng)∠DEC=C時,DEC為等邊三角形,即∠DEC=C=60°,
此時,C點即為滿足條件的F點,于是,DF=DC=DE,仍有BC2=4DE2=4DFDC.
③當(dāng)∠DEC<C時,即180°﹣2C<C,60°<C<90°;所作的∠DEF>DEC,此時點FDC的延長線上,故線段DC上不存在滿足條件的點F.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AB⊙O的直徑,CD⊙O于點C,AC平分∠DAB,求證:AD⊥CD

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】小明與小亮玩游戲,如圖,兩組相同的卡片,每組三張,第一組卡片正面分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5;第二組卡片正面分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6.他們將卡片背面朝上,分組充分洗勻后,從每組卡片中各摸出一張,稱為一次游戲.當(dāng)摸出的兩張卡片的正面數(shù)字之積小于10,則小明獲勝;當(dāng)摸出的兩張卡片的正面數(shù)字之積超過10,則小亮獲勝.你認為這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎?請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,RtABC中,∠BCA=90°,AC=BC,點DBC的中點,點F在線段AD上,DF=CD,BFCAE點,過點ADA的垂線交CF的延長線于點G,下列結(jié)論:①CF2=EFBF;②AG=2DC;③AE=EF;④AFEC=EFEB.其中正確的結(jié)論有________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,I是ABC的內(nèi)心,BAC的平分線與ABC的外接圓相交于點D,交BC于點E

1求證:BD=ID;

2求證:ID2=DEDA

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】反比例函數(shù)y=的圖象上有一點P(m,n),其中坐標(biāo)是關(guān)于t的一元二次方程t2﹣3t+k=0的兩根,且P點到原點的距離為,求反比例函數(shù)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0)的圖象經(jīng)過點(x1,0)、(2,0),且﹣2x1﹣1,與y軸正半軸的交點在(0,2)的下方,則下列結(jié)論:

①abc0②b24ac;③2a+b+10;④2a+c0

則其中正確結(jié)論的序號是

A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①②③④

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲乙兩人輪流在黑板上寫下不超過 的正整數(shù)(每次只能寫一個數(shù)),規(guī)定禁止在黑板上寫已經(jīng)寫過的數(shù)的約數(shù),最后不能寫的為失敗者,如果甲寫第一個,那么,甲寫數(shù)字時有必勝的策略.

A. 10 B. 9 C. 8D.6

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,為測量江兩岸碼頭B、D之間的距離,從山坡上高度為50米的A處測得碼頭B的EAB為15°,碼頭D的EAD為45°,點C在線段BD的延長線上,ACBC,垂足為C,求碼頭B、D的距離(結(jié)果保留整數(shù)).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案