分析 (1)根據(jù)垂徑定理得OC平分劣弧AB,則劣弧AC和劣弧BC的度數(shù)為60°,則利用圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)得∠COB=60°,連接OB,如圖,易證得△OBC是等邊三角形,所以BC=OC;
(2)由△OBC是等邊三角形,則BC=OC=OB=2,∠BOP=60°,所以當(dāng)∠P=30°時,∠OBP=90°,則根據(jù)切線的判定定理可判斷此時PB是⊙O的切線,利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到PB=$\sqrt{3}$OB=2$\sqrt{3}$,即當(dāng)PB=2$\sqrt{3}$時,PB是⊙O的切線.
解答 (1)證明:∵AB⊥OC,
∴OC平分劣弧AB,
∵劣弧AB的度數(shù)為120°,
∴劣弧AC和劣弧BC的度數(shù)為60°,
即∠COB=60°,
連接OB,如圖,
∵OC=OB,∠COB=60°,
∴△OBC是等邊三角形,
∴BC=OC;
(2)當(dāng)PB=2$\sqrt{3}$時,PB是⊙O的切線.
證明如下:∵△OBC是等邊三角形,
∴BC=OC=OB=2,∠BOP=60°,
當(dāng)∠P=30°時,∠OBP=90°,
∴OB⊥PB,
∴此時PB是⊙O的切線,
∴PB=$\sqrt{3}$OB=2$\sqrt{3}$..
點(diǎn)評 本題考查了切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.
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