【題目】
【合作學習】

如圖,矩形ABOD的兩邊OB,OD都在坐標軸的正半軸上,OD=3,另兩邊與反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象分別相交于點E,F(xiàn),且DE=2.過點E作EH⊥x軸于點H,過點F作FG⊥EH于點G.回答下面的問題:
①該反比例函數(shù)的解析式是什么?
②當四邊形AEGF為正方形時,點F的坐標是多少?
(1)閱讀合作學習內(nèi)容,請解答其中的問題;
(2)小亮進一步研究四邊形AEGF的特征后提出問題:“當AE>EG時,矩形AEGF與矩形DOHE能否全等?能否相似?”
針對小亮提出的問題,請你判斷這兩個矩形能否全等?直接寫出結(jié)論即可;這兩個矩形能否相似?若能相似,求出相似比;若不能相似,試說明理由.

【答案】
(1)

解:①∵四邊形ABOD為矩形,EH⊥x軸,

而OD=3,DE=2,

∴E點坐標為(2,3),

∴k=2×3=6,

∴反比例函數(shù)解析式為y= (x>0);

②設正方形AEGF的邊長為a,則AE=AF=a,

∴B點坐標為(2+a,0)),A點坐標為(2+a,3),

∴F點坐標為(2+a,3﹣a),

把F(2+a,3﹣a)代入y= 得(2+a)(3﹣a)=6,解得a1=1,a2=0(舍去),

∴F點坐標為(3,2)


(2)

解:①當AE>EG時,矩形AEGF與矩形DOHE不能全等.理由如下:

假設矩形AEGF與矩形DOHE全等,則AE=OD=3,AF=DE=2,

∴A點坐標為(5,3),

∴F點坐標為(5,1),

而5×1=5≠6,

∴F點不在反比例函數(shù)y= 的圖象上,

∴矩形AEGF與矩形DOHE不能全等;

②當AE>EG時,矩形AEGF與矩形DOHE能相似.

∵矩形AEGF與矩形DOHE能相似,

∴AE:OD=AF:DE,

= ,

設AE=3t,則AF=2t,

∴A點坐標為(2+3t,3),

∴F點坐標為(2+3t,3﹣2t),

把F(2+3t,3﹣2t)代入y= 得(2+3t)(3﹣2t)=6,解得t1=0(舍去),t2= ,

∴AE=3t=

∴相似比= = =


【解析】(1)①先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到D(2,3),然后利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征計算出k=6,則得到反比例函數(shù)解析式為y=
②設正方形AEGF的邊長為a,則AE=AF=a,根據(jù)坐標與圖形的關系得到B(2+a,0)),A(2+a,3),所以F點坐標為(2+a,3﹣a),于是利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得(2+a)(3﹣a)=6,然后解一元二次方程可確定a的值,從而得到F點坐標;(2)當AE>EG時,假設矩形AEGF與矩形DOHE全等,則AE=OD=3,AF=DE=2,則得到F點坐標為(3,3),根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可判斷點F(3,3)不在反比例函數(shù)y= 的圖象上,由此得到矩形AEGF與矩形DOHE不能全等;當AE>EG時,若矩形AEGF與矩形DOHE相似,根據(jù)相似的性質(zhì)得AE:OD=AF:DE,即 = ,設AE=3t,則AF=2t,得到F點坐標為(2+3t,3﹣2t),利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得(2+3t)(3﹣2t)=6,解得t1=0(舍去),t2= ,則AE=3t= ,于是得到相似比= =

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C.
D.

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