【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點,請解決下列問題.
(1)填空:點C的坐標為 點D的坐標為 ;
(2)設點P的坐標為(a,0),當|PD﹣PC|最大時,求α的值并在圖中標出點P的位置;
(3)在(2)的條件下,將△BCP沿x軸的正方向平移得到△B′C′P′,設點C對應點C′的橫坐標為t(其中0<t<6),在運動過程中△B′C′P′與△BCD重疊部分的面積為S,求S與t之間的關系式,并直接寫出當t為何值時S最大,最大值為多少?
【答案】
(1)(0,3);(1,4)
(2)
∵在三角形中兩邊之差小于第三邊,
∴延長DC交x軸于點P,
設直線DC的解析式為y=kx+b,把D、C兩點坐標代入可得,解得,
∴直線DC的解析式為y=x+3,
將點P的坐標(a,0)代入得a+3=0,求得a=﹣3,
如圖1,點P(﹣3,0)即為所求;
(3)
過點C作CE∥x,交直線BD于點E,如圖2,
由(2)得直線DC的解析式為y=x+3,
由法可求得直線BD的解析式為y=﹣2x+6,直線BC的解析式為y=﹣x+3,
在y=﹣2x+6中,當y=3時,x=,
∴E點坐標為(,3),
設直線P′C′與直線BC交于點M,
∵P′C′∥DC,P′C′與y軸交于點(0,3﹣t),
∴直線P′C′的解析式為y=x+3﹣t,
聯(lián)立,解得,
∴點M坐標為(,),
∵B′C′∥BC,B′坐標為(3+t,0),
∴直線B′C′的解析式為y=﹣x+3+t,
分兩種情況討論:
①當0<t<時,如圖2,B′C′與BD交于點N,
聯(lián)立,解得,
∴N點坐標為(3﹣t,2t),
S=S△B′C′P﹣S△BMP﹣S△BNB′=×6×3﹣(6﹣t)×(6﹣t)﹣t×2t=﹣t2+3t,
其對稱軸為t=,可知當0<t<時,S隨t的增大而增大,當t=時,有最大值;
②當≤t<6時,如圖3,直線P′C′與DB交于點N,
聯(lián)立,解得,
∴N點坐標為(,),
S=S△BNP′﹣S△BMP′=(6﹣t)×﹣×(6﹣t)×=(6﹣t)2=t2﹣t+3;
顯然當<t<6時,S隨t的增大而減小,當t=時,S=
綜上所述,S與t之間的關系式為S=,且當t=時,S有最大值,最大值為.
【解析】(1)根據(jù)拋物線與坐標軸交點坐標求法和頂點坐標求法計算即可;
(2)求|PD﹣PC|的值最大時點P的坐標,應延長CD交x軸于點P.因為|PD﹣PC|小于或等于第三邊CD,所以當|PC﹣PD|等于CD時,|PC﹣PD|的值最大.因此求出過CD兩點的解析式,求它與x軸交點坐標即可;
(3)過C點作CE∥x軸,交DB于點E,求出直線BD的解析式,求出點E的坐標,求出P′C′與BC的交點M的坐標,分點C′在線段CE上和在線段CE的延長線上兩種情況,再分別求得N點坐標,再利用圖形的面積的差,可表示出S,再求得其最大值即可.
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值的相關知識點,需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數(shù),那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值),即當x=-b/2a時,y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,關于x的二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣3,0),點C(0,3),點D為二次函數(shù)的頂點,DE為二次函數(shù)的對稱軸,E在x軸上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)DE上是否存在點P到AD的距離與到x軸的距離相等?若存在求出點P,若不存在請說明理由;
(3)如圖2,DE的左側拋物線上是否存在點F,使2S△FBC=3S△EBC?若存在求出點F的坐標,若不存在請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑作⊙O交BC于點D,過點D作⊙O的切線,交AB于點E,交CA的延長線于點F.
(1)求證:FE⊥AB;
(2)當EF=6,時,求DE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°,G是CD的中點,E是邊AD上的動點,EG的延長線與BC的延長線交于點F,連結CE,DF.
(1)求證:四邊形CEDF是平行四邊形;
(2)①當AE= cm時,四邊形CEDF是矩形;
②當AE= cm時,四邊形CEDF是菱形.
(直接寫出答案,不需要說明理由)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD;∠ACB=∠DCE=90°,AB與CE交于F,ED與AB,BC,分別交于M,H.
(1)求證:CF=CH;
(2)如圖2,△ABC不動,將△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°時,試判斷四邊形ACDM是什么四邊形?并證明你的結論.
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【題目】
(1)(1)如圖1是某個多面體的表面展開圖.
①請你寫出這個多面體的名稱,并指出圖中哪三個字母表示多面體的同一點;
②如果沿BC、GH將展開圖剪成三塊,恰好拼成一個矩形,那么△BMC應滿足什么條件?(不必說理)
(2)如果將一個三棱柱的表面展開圖剪成四塊,恰好拼成一個三角形,如圖2,那么該三棱柱的側面積與表面積的比值是多少?為什么?(注:以上剪拼中所有接縫均忽略不計)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A1 , A2 , A3…都在x軸上,點B1 , B2 , B3…都在直線y=x上,△OA1B1 , △B1A1A2 , △B2B1A2 , △B2A2A3 , △B3B2A3…都是等腰直角三角形,且OA1=1,則點B2015的坐標是( )
A.(22014 , 22014)
B.(22015 , 22015)
C.(22014 , 22015)
D.(22015 , 22014)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,對于點P(x,y)和Q(x,y′),給出如下定義:如果y′= ,那么稱點Q為點P的“關聯(lián)點”.例如:點(5,6)的“關聯(lián)點”為點(5,6),點(﹣5,6)的“關聯(lián)點”為點(﹣5,﹣6).
(1)如果點A(3,﹣1),B(﹣1,3)的“關聯(lián)點”中有一個在函數(shù)y= 的圖象上,那么這個點是(填“點A”或“點B”).
(2)如果點N*(m+1,2)是一次函數(shù)y=x+3圖象上點N的“關聯(lián)點”,求點N的坐標.
(3)如果點P在函數(shù)y=﹣x2+4(﹣2<x≤a)的圖象上,其“關聯(lián)點”Q的縱坐標y′的取值范圍是﹣4<y′≤4,那么實數(shù)a的取值范圍.
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