Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，點(diǎn)P由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q由點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相等，點(diǎn)Q與線段BC相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作PE∥AQ，交BC于點(diǎn)E．

（1）如圖1，求證：D為CE中點(diǎn)；

（2）如圖2，過點(diǎn)P作PF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，在P、Q的運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)判斷DF的長(zhǎng)度是否為定值；若是，請(qǐng)求出DF的長(zhǎng)度；若否，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DF的長(zhǎng)為定值，DF=4

【解析】

（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠B=∠PEB，則有PB=PE，再根據(jù)P,Q速度相等通過等量代換得出PE=CQ，然后利用AAS證明△PDE≌△QDC，則有DE=DC，則 結(jié)論可證；

（2）由等腰三角形三線合一可得出BF=EF，則有DF=EF+DE=BC，因?yàn)?/span>BC是定值，所以DF也是定值．

（1）證明：∵點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相等，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)

∴BP=CQ

∵PE∥AQ

∴∠DPE=∠DQC，∠PEB=∠ACB

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠B=∠PEB

∴PB=PE

即：PE=CQ

在△PDE與△QDC中，

∴△PDE≌△QDC（AAS）

∴DE=DC

即：D為CE中點(diǎn)

（2）DF的長(zhǎng)度是定值，

由（1）得：PB=PE，

∵PF⊥BC

∴BF=EF

由（1）得：DE=DC

∴EF=BE，DE=CE

∴DF=EF+DE=BE+CE=(BE+CE)=BC

∵BC=8

∴DF=4

故DF的長(zhǎng)為定值，DF=4