【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,且當(dāng)x=﹣1和x=3時(shí),y值相等.直線y=與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是6,另一個(gè)交點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式.
(2)動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā),在線段OB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),在線段BC上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)立即停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
①求t的取值范圍.
②若使△BPQ為直角三角形,請(qǐng)求出符合條件的t值;
③t為何值時(shí),四邊形ACQP的面積有最小值,最小值是多少?直接寫(xiě)出答案.
【答案】(1);(2)①,②t的值為或,③當(dāng)t=2時(shí),四邊形ACQP的面積有最小值,最小值是.
【解析】
(1)求出對(duì)稱(chēng)軸,再求出y=與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),將其代入拋物線的頂點(diǎn)式即可;
(2)①先求出A、B、C的坐標(biāo),寫(xiě)出OB、OC的長(zhǎng)度,再求出BC的長(zhǎng)度,由運(yùn)動(dòng)速度即可求出t的取值范圍;
②當(dāng)△BPQ為直角三角形時(shí),只存在∠BPQ=90°或∠PQB=90°兩種情況,分別證△BPQ∽△BOC和△BPQ∽△BCO,即可求出t的值;
③如圖,過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H,證△BHQ∽△BOC,求出HQ的長(zhǎng),由公式S四邊形ACQP=S△ABC-S△BPQ可求出含t的四邊形ACQP的面積,通過(guò)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可寫(xiě)出結(jié)論.
解:(1)∵在拋物線中,當(dāng)x=﹣1和x=3時(shí),y值相等,
∴對(duì)稱(chēng)軸為x=1,
∵y=與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是6,另一個(gè)交點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M,
∴頂點(diǎn)M(1,),另一交點(diǎn)為(6,6),
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2,
將點(diǎn)(6,6)代入y=a(x﹣1)2,
得6=a(6﹣1)2,
∴a=,
∴拋物線的解析式為
(2)①在中,當(dāng)y=0時(shí),x1=﹣2,x2=4;當(dāng)x=0時(shí),y=﹣3,
∴A(﹣2,0),B(4,0),C(0,﹣3),
∴在Rt△OCB中,OB=4,OC=3,
∴BC==5,
∴,
∵<4,
∴
②當(dāng)△BPQ為直角三角形時(shí),只存在∠BPQ=90°或∠PQB=90°兩種情況,
當(dāng)∠BPQ=90°時(shí),∠BPQ=∠BOC=90°,
∴PQ∥OC,
∴△BPQ∽△BOC,
∴,即,
∴t=;
當(dāng)∠PQB=90°時(shí),∠PQB=∠BOC=90°,∠PBQ=∠CBO,
∴△BPQ∽△BCO,
∴,即,
∴t=,
綜上所述,t的值為或;
③如右圖,過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H,
則∠BHQ=∠BOC=90°,
∴HQ∥OC,
∴△BHQ∽△BOC,
∴,即,
∴HQ=,
∴S四邊形ACQP=S△ABC﹣S△BPQ
=×6×3﹣(4﹣t)×t
=(t﹣2)2+,
∵>0,
∴當(dāng)t=2時(shí),四邊形ACQP的面積有最小值,最小值是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1所示,為矩形的邊上一點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā),點(diǎn)沿折線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止,點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止,它們運(yùn)動(dòng)的速度都是秒.設(shè)同時(shí)出發(fā)秒時(shí),的面積為,已知與的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示.請(qǐng)回答:
(1)線段的長(zhǎng)為_______cm;
(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間秒時(shí),之間的距離是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某汽車(chē)銷(xiāo)售公司一位銷(xiāo)售經(jīng)理1—5月份的汽車(chē)銷(xiāo)售統(tǒng)計(jì)圖如下:
(1)已知1月的銷(xiāo)售量是2月的銷(xiāo)售量的3.5倍,則1月的銷(xiāo)售量為________輛,在扇形圖中,2月的銷(xiāo)售量所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角大小為________;
(2)補(bǔ)全圖中銷(xiāo)售量折線統(tǒng)計(jì)圖;
(3)已知4月份銷(xiāo)售的車(chē)中有3輛國(guó)產(chǎn)車(chē)和2輛合資車(chē),國(guó)產(chǎn)車(chē)分別用G1,G2,G3表示,合資車(chē)分別用H1,H2表示,現(xiàn)從這5輛車(chē)中隨機(jī)抽取兩輛車(chē)參加公司的回饋活動(dòng),請(qǐng)用列舉法(畫(huà)樹(shù)狀圖或列表)求出“抽到的兩輛車(chē)都是國(guó)產(chǎn)車(chē)”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在四邊形ABCD中,點(diǎn)G在邊BC的延長(zhǎng)線上,CE平分∠BCD,CF平分∠GCD,EF∥BC交CD于點(diǎn)O.
(1)求證:OE=OF;
(2)若點(diǎn)O為CD的中點(diǎn),求證:四邊形DECF是矩形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了豐富校園文化生活,提高學(xué)生的綜合素質(zhì),促進(jìn)中學(xué)生全面發(fā)展,學(xué)校開(kāi)展了多種社團(tuán)活動(dòng).小明喜歡的社團(tuán)有:合唱社團(tuán)、足球社團(tuán)、書(shū)法社團(tuán)、科技社團(tuán)(分別用字母A,B,C,D依次表示這四個(gè)社團(tuán)),并把這四個(gè)字母分別寫(xiě)在四張完全相同的不透明的卡片的正面上,然后將這四張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上.
(1)小明從中隨機(jī)抽取一張卡片是足球社團(tuán)B的概率是 .
(2)小明先從中隨機(jī)抽取一張卡片,記錄下卡片上的字母后不放回,再?gòu)氖S嗟目ㄆ须S機(jī)抽取一張卡片,記錄下卡片上的字母.請(qǐng)你用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求出小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團(tuán)D的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解某次“小學(xué)生書(shū)法比賽”的成績(jī)情況,隨機(jī)抽取了 30 名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并將統(tǒng)計(jì)情況繪成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖,己知成績(jī) x(單位:分)均滿(mǎn)足“50≤x<100”.根據(jù)圖中信息回答下列問(wèn)題:
(1)圖中 a 的值為 ;
(2)若繪制該樣本的扇形統(tǒng)計(jì)圖,則成績(jī) x 在“80≤x<90”所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù) 為 度;
(3)此次比賽共有 1500 名學(xué)生參加,若將“x≥80”的成績(jī)記為“優(yōu)秀”,則獲得“優(yōu)秀”的學(xué)生大約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】解放碑某商場(chǎng)地下停車(chē)場(chǎng)有5個(gè)出入口,每天早晨7點(diǎn)開(kāi)始對(duì)外停車(chē)且此時(shí)車(chē)位空置率為80%,在每個(gè)出入口的車(chē)輛數(shù)均是勻速出入的情況下,如果開(kāi)放2個(gè)進(jìn)口和3個(gè)出口,7小時(shí)車(chē)庫(kù)恰好停滿(mǎn):如果開(kāi)放3個(gè)進(jìn)口和2個(gè)出口,4小時(shí)車(chē)庫(kù)恰好停滿(mǎn).2019年清明節(jié)期間,由于商場(chǎng)人數(shù)增多,早晨7點(diǎn)時(shí)的車(chē)位空置率變?yōu)?/span>60%,又因?yàn)檐?chē)庫(kù)改造,只能開(kāi)放2個(gè)進(jìn)口和1個(gè)出口,則從早晨7點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)_______小時(shí)車(chē)庫(kù)恰好停滿(mǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形紙片ABCD中,AD=5,AB=3.若M為射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將△ABM沿BM折疊得到△NBM.若△NBC是直角三角形.則所有符合條件的M點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的AM長(zhǎng)度的和為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y4x4與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)A在拋物線yax2bx3a(a0)上,將點(diǎn)B向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,得到點(diǎn)C.
(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (用含a的代數(shù)式表示)
(2)若a1,當(dāng)t-1≤x≤t時(shí),函數(shù)yax2bx3a(a0)的最大值為y1,最小值為y2,且y1y22,求t的值;
(3)若拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,求a的取值范圍.
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