【題目】已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點,∠ACB=90°,∠ABC=30°,過點D作Rt△DEF使∠DEF=90°,∠DFE=30°,連接CE并延長CE到P,使EP=CE,連接BE,FP,BP,設(shè)BC與DE交于M,PB與EF交于N.
(1)如圖1,當(dāng)D,B,F共線時,求證:
①EB=EP;
②∠EFP=30°;
(2)如圖2,當(dāng)D,B,F不共線時,連接BF,求證:∠BFD+∠EFP=30°.
【答案】(1)①見解析 ②30°(2)見解析
【解析】
(1)①本題主要考查通過角度計算求證平行,繼而證明△CBP是直角三角形,根據(jù)直角三角形斜邊中線可得結(jié)論.
②本題以上一問結(jié)論為解題依據(jù),考查平行線以及垂直平分線的應(yīng)用,根據(jù)同位角相等可得BC∥EF,由平行線的性質(zhì)得BP⊥EF,可得EF是線段BP的垂直平分線,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠PFE=∠BFE=30°.
(2)本題主要考查輔助線的做法以及垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用,需要延長DE到Q,使EQ=DE,連接CD,PQ,FQ,證明△QEP≌△DEC(SAS),則PQ=DC=DB,由QE=DE,∠DEF=90°,知EF是DQ的垂直平分線,證明△FQP≌△FDB(SAS),再由EF是DQ的垂直平分線,可得結(jié)論.
證明(1)①∵∠ACB=90°,∠ABC=30°
∴∠A=90°﹣30°=60°
同理∠EDF=60°
∴∠A=∠EDF=60°
∴AC∥DE
∴∠DMB=∠ACB=90°
∵D是Rt△ABC斜邊AB的中點,AC∥DM
∴
即M是BC的中點
∵EP=CE,即E是PC的中點
∴ED∥BP
∴∠CBP=∠DMB=90°
∴△CBP是直角三角形
∴BE=PC=EP
②∵∠ABC=∠DFE=30°
∴BC∥EF
由①知:∠CBP=90°
∴BP⊥EF
∵EB=EP
∴EF是線段BP的垂直平分線
∴PF=BF
∴∠PFE=∠BFE=30°
(2)如圖2,延長DE到Q,使EQ=DE,連接CD,PQ,FQ
∵EC=EP,∠DEC=∠QEP
∴△QEP≌△DEC(SAS)
則PQ=DC=DB
∵QE=DE,∠DEF=90°
∴EF是DQ的垂直平分線
∴QF=DF
∵CD=AD
∴∠CDA=∠A=60°
∴∠CDB=120°
∴∠FDB=120°﹣∠FDC=120°﹣(60°+∠EDC)=60°﹣∠EDC=60°﹣∠EQP=∠FQP
∴△FQP≌△FDB(SAS)
∴∠QFP=∠BFD
∵EF是DQ的垂直平分線
∴∠QFE=∠EFD=30°
∴∠QFP+∠EFP=30°
∴∠BFD+∠EFP=30°
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【題目】某班班長統(tǒng)計去年18月“書香校園”活動中全班同學(xué)的課外閱讀數(shù)量(單位:本),繪制了如圖折線統(tǒng)計圖,下列說法正確的是( )
A. 每月閱讀數(shù)量的平均數(shù)是50
B. 眾數(shù)是42
C. 中位數(shù)是58
D. 每月閱讀數(shù)量超過40的有4個月
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點為坐標(biāo)原點.拋物線交軸于、兩點,交軸于點,直線經(jīng)過、兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)過點作直線軸交拋物線于另一點,過點作軸于點,連接,求的值.
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【題目】如圖,兩個全等的等腰直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中,在軸上,,,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)把沿射線移動,當(dāng)點落在圖象上的時,求點的坐標(biāo).
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【題目】已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過A(3,18)和B(﹣2,8)兩點.
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)若一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖象只有一個交點,求交點坐標(biāo).
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【題目】某校用隨機抽樣的方法在九年級開展了“你是否喜歡網(wǎng)課”的調(diào)查,并將得到的數(shù)據(jù)整理成了以下統(tǒng)計圖(不完整).
(1)此次共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)若該學(xué)校九年級共有300名學(xué)生,請你估計其中“非常喜歡”網(wǎng)課的人數(shù).
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【題目】如圖,拋物線與軸交于點,頂點坐標(biāo),與軸的交點在,之間(包含端點),則下列結(jié)論:①;②;③對于任意實數(shù),總成立;④關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根.其中結(jié)論正確的個數(shù)為( )
A.個B.個C.個D.個
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【題目】已知圓是等邊的外接圓,延長至,使,連交圓于,點在邊上,且,延長至交于.
(1)求證:;
(2)求證:是圓的切線;
(3)求的值.
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【題目】某學(xué)習(xí)網(wǎng)站針對疫情停課不停學(xué)推出了套餐優(yōu)惠服務(wù):已知購買2個學(xué)習(xí)賬號和1個錯題伴印設(shè)備需要2700元,購買3個學(xué)習(xí)賬號和2個錯題伴印設(shè)備需要4800元.
(1)求1個學(xué)習(xí)賬號和1個錯題伴印設(shè)備的單價各是多少元?
(2)若某學(xué)習(xí)小組準備購買賬號和錯題伴印設(shè)備共45個,且要求伴印設(shè)備不低于賬號數(shù)量的,請問如何購買才能使得總費用最低,最低費用為多少?
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