Question

（2013•翔安區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，3）、B（6，3），連結(jié)AB．如果點(diǎn)P在直線y=x+1上，且點(diǎn)P到直線AB的距離大于或等于1，那么稱點(diǎn)P是線段AB的“疏遠(yuǎn)點(diǎn)”．
（1）判斷點(diǎn)C（

5

2

，

7

2

）是否是線段AB的“疏遠(yuǎn)點(diǎn)”，并說明理由；
（2）若點(diǎn)Q（m，n）是線段AB的“疏遠(yuǎn)點(diǎn)”，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A、B的坐標(biāo)得出AB∥x軸，求出點(diǎn)C到直線AB的距離小于1，根據(jù)點(diǎn)P是線段AB的“疏遠(yuǎn)點(diǎn)”的定義可知，點(diǎn)P雖然在直線y=x+1上，但是點(diǎn)P到直線AB的距離不是大于或等于1，所以點(diǎn)P不是線段AB的“疏遠(yuǎn)點(diǎn)”；
（2）根據(jù)點(diǎn)Q（m，n）是線段AB的“疏遠(yuǎn)點(diǎn)”，可知點(diǎn)Q（m，n）同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①在直線y=x+1上，②到直線AB的距離大于或等于1．先由點(diǎn)Q（m，n）在直線y=x+1上，得到n=m+1．再分兩種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)Q在直線AB或其上方，即n=m+1≥3，根據(jù)點(diǎn)Q到直線AB的距離大于或等于1列出不等式m+1-3≥1，解此不等式求出m≥3；②點(diǎn)Q在直線AB下方，即n=m+1＜3，根據(jù)點(diǎn)Q到直線AB的距離大于或等于1列出不等式3-m-1≥1，解此不等式求出m≤1．

解答：解：（1）點(diǎn)C（

5

2

，

7

2

）不是線段AB的“疏遠(yuǎn)點(diǎn)”．理由如下：
∵

5

2

+1=

7

2

，
∴點(diǎn)C（

5

2

，

7

2

）在直線y=x+1上；
∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同，
∴AB∥軸，
∴點(diǎn)C（

5

2

，

7

2

）到線段AB的距離是

7

2

-3=

1

2

＜1，
∴點(diǎn)C（

5

2

，

7

2

）不是線段AB的“疏遠(yuǎn)點(diǎn)”；

（2）∵點(diǎn)Q（m，n）是線段AB的“疏遠(yuǎn)點(diǎn)”，
∴點(diǎn)Q（m，n）在直線y=x+1上，
∴n=m+1．
①當(dāng)n=m+1≥3，即m≥2時(shí)，
∵AB∥軸，∴點(diǎn)Q（m，n）到線段AB的距離是n-3，
∴m+1-3≥1，解得m≥3；
②當(dāng)n=m+1＜3，即m＜2時(shí)，
∵AB∥軸，∴點(diǎn)Q（m，n）到線段AB的距離是3-n，
∴3-m-1≥1，解得m≤1，
綜上所述，m≥3或m≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，點(diǎn)到直線的距離，解一元一次不等式，學(xué)生的閱讀理解能力和知識(shí)的遷移能力，難度適中．正確理解“疏遠(yuǎn)點(diǎn)”的定義是解題的關(guān)鍵．