【題目】如圖,直線y=x+3與兩坐標軸交于A,B兩點,拋物線y=﹣x2+bx+cA、B兩點,且交x軸的正半軸于點C.

(1)直接寫出A、B兩點的坐標;

(2)求拋物線的解析式和頂點D的坐標;

(3)在拋物線上是否存在點P,使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】(1)B(0,3),A(﹣3,0);(2)拋物線解析式為:y=﹣x2﹣2x+3;頂點D坐標為(﹣1,4);(3)存在,符合條件的點P的坐標為(﹣1,4)或(2,﹣5).

【解析】試題分析:(1分別令x=0y=0代入y=x+3中可得結(jié)論;

2)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,根據(jù)配方法可得頂點D的坐標;

3)分兩種情況設(shè)點P的坐標為(t,﹣t22t+3).根據(jù)兩點距離公式可得AB2=32+32=18AP2=(t+32+(﹣t22t+32,BP2=t2+(﹣t22t2

①如圖1如果點B為直角頂點,那么AB2+BP2=AP2

②如圖2,如果點A為直角頂點那么AP2+AB2=BP2,列方程可得結(jié)論.

試題解析:(1)當x=0,y=3,B0,3),y=0,x+3=0,x=﹣3,A(﹣3,0);

2)把A(﹣3,0),B0,3)分別代入y=﹣x2+bx+c

,解得 ,∴拋物線解析式為y=﹣x22x+3;

頂點D坐標為(﹣14

3)存在.

設(shè)點P的坐標為(t,﹣t22t+3).

A(﹣3,0),B03),AB2=32+32=18AP2=(t+32+(﹣t22t+32,BP2=t2+(﹣t22t2

當△PAB是以AB為直角邊的直角三角形時,可分兩種情況

①如圖1如果點B為直角頂點,那么AB2+BP2=AP2

(事實這里的點P與點D 重合)

18+t2+(﹣t22t2=(t+32+(﹣t22t+32整理得t2+t=0,解得t1=﹣1t2=0(不合題意舍去),則點P的坐標為(﹣1,4);

②如圖2,如果點A為直角頂點,那么AP2+AB2=BP2,18+t+32+(﹣t22t+32=t2+(﹣t22t2,整理得t2+t6=0解得t1=2,t2=﹣3(不合題意舍去)則點P的坐標為(2,﹣5);

綜上所述所有符合條件的點P的坐標為(﹣1,4)或(2,﹣5).

另解如圖3,DEy軸于點E,發(fā)現(xiàn)∠ABO=DBE=45°

可知頂點D滿足△DAB是直角三角形,這時點P的坐標為(﹣14);

PAAB交拋物線于點P,PFx軸于點F,發(fā)現(xiàn)∠PAF=APF=45°,PF=AF求出另一點P為(2,﹣5).

練習冊系列答案
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1)已知等差數(shù)列5,2,﹣1,﹣4,…則這個數(shù)列的公差d   ,第5項是   

2)如果一個數(shù)列a1,a2,a3,a4,…是等差數(shù)列,且公差為d,那么根據(jù)定義可得到:

a2a1da3a2d,a4a3d,……anan1d,所以a2a1+d,a3a2+da1+2da4a1+3d,……:由此可得an   (用a1d的代數(shù)式表示)

3)對于等差數(shù)列5,2,﹣1,﹣4,…,an   請判斷﹣2020是否是此等差數(shù)列的某一項,若是,請求出是第幾項:若不是,說明理由.

探究二:二百多年前,數(shù)學(xué)王子高斯用他獨特的方法快速計算出1+2+3+4++100的值.我們從這個算法中受到啟發(fā),用此方法計算數(shù)列1,23,…,n的前n項和: 可知

4)請你仿照上面的探究方式,解決下面的問題:

a1,a2,a3,…,an為等差數(shù)列的前n項,前n項和Sna1+a2+a3++an.證明:Snna1+

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③3a+c0

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x0時,yx增大而增大

其中結(jié)論正確的個數(shù)是( 。

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(1)把一班競賽成績統(tǒng)計圖補充完整;

(2)寫出下表中a、b、c的值:

平均數(shù)(分)

中位數(shù)(分)

眾數(shù)(分)

方差

一班

a

b

90

106.24

二班

87.6

80

c

138.24

(3)根據(jù)(2)的結(jié)果,請你對這次競賽成績的結(jié)果進行分析.

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