如下圖,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm.點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2 cm/s的速度移動;點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1 cm/s的速度移動.如果P、Q同時出發(fā),用t(s)表示移動的時間(0≤t≤6)那么:
(1)當(dāng)t為何值時,△QAP為等腰直角三角形?
(2)求四邊形QAPC的面積,提出一個與計算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論;
(3)當(dāng)t為何值時,以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?

【答案】分析:(1)根據(jù)題意分析可得:因?yàn)閷τ谌魏螘r刻t,AP=2t,DQ=t,QA=6-t.當(dāng)QA=AP時,△QAP為等腰直角三角形,可得方程式,解可得答案;
(2)根據(jù)(1)中.在△QAC中,QA=6-t,QA邊上的高DC=12,由三角形的面積公式可得關(guān)系式,計算可得在P、Q兩點(diǎn)移動的過程中,四邊形QAPC的面積始終保持不變;
(3)根據(jù)題意,在矩形ABCD中,可分為=、=兩種情況來研究,列出關(guān)系式,代入數(shù)據(jù)可得答案.
解答:解:(1)對于任何時刻t,AP=2t,DQ=t,QA=6-t.
當(dāng)QA=AP時,△QAP為等腰直角三角形,即:6-t=2t,解得:t=2(s),
所以,當(dāng)t=2s時,△QAP為等腰直角三角形.

(2)在△QAC中,QA=6-t,QA邊上的高DC=12,
∴S△QAC=QA•DC=(6-t)•12=36-6t.
在△APC中,AP=2t,BC=6,
∴S△APC=AP•BC=•2t•6=6t.
∴S四邊形QAPC=S△QAC+S△APC=(36-6t)+6t=36(cm2).
由計算結(jié)果發(fā)現(xiàn):
在P、Q兩點(diǎn)移動的過程中,四邊形QAPC的面積始終保持不變.(也可提出:P、Q兩點(diǎn)到對角線AC的距離之和保持不變)

(3)根據(jù)題意,可分為兩種情況來研究,在矩形ABCD中:
①當(dāng)=時,△QAP∽△ABC,那么有:
=,解得t==1.2(s),
即當(dāng)t=1.2s時,△QAP∽△ABC;

②當(dāng)=時,△PAQ∽△ABC,那么有:
=,解得t=3(s),
即當(dāng)t=3s時,△PAQ∽△ABC;
所以,當(dāng)t=1.2s或3s時,以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.
點(diǎn)評:此題比較復(fù)雜,綜合了等腰三角形、相似三角形的判定定理與性質(zhì),是一道具有一定綜合性的好題.
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