Question

如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，O為△ABC的中心．將△ABC繞著中心O旋轉(zhuǎn)120°．
①直接寫(xiě)出△ABC的內(nèi)切圓半徑r和外接圓半徑R分別是多少？
②設(shè)點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、BC、CA上，且AD=2DB，BE=2EC，CF=2FA，試畫(huà)出△DEF，說(shuō)明它的形狀，并計(jì)算它的周長(zhǎng)；
③根據(jù)“線動(dòng)成面”的道理，△ABC的三條邊AB、BC和CA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的部分組成的平面圖形的形狀是什么？并計(jì)算出此圖形的面積．

Answer 1

分析：①O點(diǎn)到各定點(diǎn)的距離是外接圓半徑R，O到各邊的距離就是內(nèi)接圓半徑r；
②易知△DEF是等邊三角形，可借助直角三角形求出其邊長(zhǎng)，繼而得出其周長(zhǎng)；
③△ABC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的部分組成的平面圖形的形狀是三角形的外接圓與內(nèi)切圓所形成的圓環(huán)，大圓的面積減去小圓的面積即可求得．

解答：解：①內(nèi)切圓半徑r=

3

6

a，外接圓半徑R=

3

3

a；

②如圖畫(huà)出△DEF，可知它是等邊三角形．
取BE的中點(diǎn)M，連接DM，
由BD=BM=

1

3

a，且∠B=60°，得等邊△BDM，
∴DM=ME=

1

3

a，∠MDE=∠MED，
又∠BMD=60°，
∴∠MED=

1

2

∠BMD=30°，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，DE=

3

BD=

3

3

a，
∴等邊△DEF的周長(zhǎng)=

3

a；

③圖形的形狀是：三角形的外接圓與內(nèi)切圓所形成的圓環(huán)．
∵圓環(huán)的大圓半徑是△ABC外接圓半徑R，小圓半徑是△ABC內(nèi)切圓半徑r，
∴圓環(huán)的面積=πR²-πr²=π•

1

3

a2-π•

1

12

a2=

1

4

πa2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)、外接圓及圓面積的計(jì)算，考查了知識(shí)點(diǎn)比較多，熟記其計(jì)算公式，是解答的關(guān)鍵，考查了學(xué)生的空間想象能力．