Question

如圖，已知直線y=

1

2

x與雙曲線y=

k

x

(k＞0)交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4．
（1）求k的值；
（2）根據(jù)圖象寫(xiě)出正比例函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值時(shí)，x的取值范圍．
（3）若雙曲線y=

k

x

(k＞0)上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積．

Answer 1

分析：（1）先把點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4代入直線y=

1

2

x，得A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），然后把A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）代入雙曲線y=

k

x

(k＞0)即可得到k的值；
（2）先確定B點(diǎn)坐標(biāo)，這樣直線被A、O、B三點(diǎn)分成四段，然后在四個(gè)區(qū)間討論正比例函數(shù)的值與反比例函數(shù)值的大小即可；
（3）過(guò)A、C分別作y軸的垂線，垂足分別為E、F，先確定C點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)S_△AOC=S_梯形ACEF+S_△AOF-S_△CEO，利用三角形的面積公式和梯形的面積公式計(jì)算即可．

解答：解：（1）把點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4代入直線y=

1

2

x，得y=2，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），
把A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）代入雙曲線y=

k

x

(k＞0)得，k=4×2=8，
即k的值為8；

（2）∵A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-2），
觀察圖象得，當(dāng)-4＜x＜0或x＞4時(shí)，正比例函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值．

（3）如圖，過(guò)A、C分別作y軸的垂線，垂足分別為E、F，
把C的縱坐標(biāo)8代入y=

8

x

，得C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，8）
∴S_△AOC=S_梯形ACEF+S_△AOF-S_△CEO
=

1

2

（1+4）×（8-2）+

1

2

×4×2-

1

2

×8×1
=15，
即△AOC的面積為15．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)在函數(shù)圖象上，則點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿(mǎn)足圖象的解析式．也考查了觀察圖象的能力以及不規(guī)則幾何圖形面積的計(jì)算方法．