Question

【題目】如圖，射線OA⊥射線OB，半徑的動(dòng)圓M與OB相切于點(diǎn)Q，( 圓M 與OA沒有公共點(diǎn) ), P是OA上的動(dòng)點(diǎn)，且PM．設(shè)OP= ，OQ= ．

（1）求、所滿足的關(guān)系式，并寫出的取值范圍 ；

（2）當(dāng)△MOP為等腰三角形時(shí)，求相應(yīng)的值；

（3）是否存在大于2的實(shí)數(shù)，使△MQO∽△OMP？若存在，求相應(yīng)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，使△MQO∽△MOP

【解析】試題分析：（1）過點(diǎn)M作MD⊥OA，垂足為D，可以知道△MDP為直角三角形，DP=（x-2）cm，MD=ycm，勾股定理即可得出x、y所滿足的關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（2）若△MOP為等腰三角形，①若OM=MP，則有OD=PD，此時(shí)x=2×2=4；②若MP=OP時(shí)，x=3；③若OM=OP時(shí)，OM=4+y2，結(jié)合（1）求出x的值；（3）△MQO∽△OMP，因?yàn)椤?/span>Q=90°，∠OMP=90°，根據(jù)相似比及（1）的關(guān)系式求相應(yīng)x的值．

試題解析：

(1)過點(diǎn)M作MD⊥OA，垂足為D，顯然ODMQ為矩形，

∴OD=MQ=2，MD=OQ=y，

∴PD=x2，

在Rt△MDP中,y2+(x2)2=32，

∴x24x+y2=5，

當(dāng)如圖所示情況時(shí)，OD=2；

當(dāng)M與OA相切時(shí)，

可知OP=2+，

∴x取值范圍為0x<2+；

(2)①若OM=MP，此時(shí)x=4，

②若MP=OP時(shí)，此時(shí)x=3，

③若OM=OP時(shí)，

∵OM=4+y2，

∴4+y2=x2，

∴，

解得x=；

(3)∵△QMO∽△MOP,此時(shí)∠OMP=90°,則，

∴，

∴4+y2=2x，

∴，

∴x=1+<2，

∴存在這樣的實(shí)數(shù)x,并且x=1+.