【題目】如圖,在平面直角坐標系內(nèi),點為坐標原點,的頂點在軸正半軸,頂點、分別在軸負半軸和正半軸上,,,
(1)求的長.
(2)動點從點出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿向終點運動,點運動的時間為,以為斜邊在右邊上方作等腰直角三角形,連接、,設(shè)的面積為(),求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量的取值范圍.
(3)在(2)的條件下,過點作的垂線交軸于,連接,當四邊形的面積為,時,求的值及點坐標.
【答案】(1);(2)S=2t(0≤t≤4);(3)Q(0,-2).
【解析】
(1)根據(jù)三角形面積公式求得BC的長,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求OB的長,從而利用勾股定理求解;
(2)作PM⊥BC于N,DH⊥PC于H.利用勾股定理求出PC的長(用t表示)即可解決問題;
(3)作PN⊥y軸于N,DK⊥PN于K,DH⊥PC于H,連接AH、DH.首先證明A、P、D、C四點共圓,推出∠DAC=∠DPC=45°,∠DAO=90°,由△PNQ≌△DKP,可得DP=PQ=DC,可得四邊形PQCD是正方形,根據(jù)題意列出方程即可解決問題;
解:∵
∴BC=8
又∵的頂點在軸正半軸,頂點、分別在軸負半軸和正半軸上,,
∴OB=OC=,
∴在Rt△OAB中,
(2)如圖1中,作DM⊥X軸于M,PK⊥DM于K交y軸于N,DH⊥PC于H,作PE⊥x軸于E,連接AH、DH.
由(1)可知,OA=OB=4
∴∠BAO=∠CAO=45°,即∠BAC=90°
又∵△PCD是等腰直角三角形
∴AH=DH=HP=HC,
∴A、P、D、C四點共圓,
∴∠DAC=∠DPC=45°,
∴∠DAO=90°,
∵∠DPK+∠PDM=90°,∠PDM+∠MDC=90°,
∴∠DPK=∠MDC,
∵∠PKD=∠DMC=90°,DP=DC,
∴△PDK≌△DCM,
∴PK=DM=OA=4,
∵OA=OB,∠AOB=90°,
∴△AOB是等腰直角三角形,
∵PE⊥BC,
∴∠PEB=90°,
∴∠PBE=∠BPE=45°,
∵PB=t,
由題意可知,四邊形PEON為矩形
∴PE=BE=t,ON=4-t,
∴CM=DK=AN=OA=ON=OA-PE=4-t,
∴AD=4-(4-t)=t,
∴S=t4=2t(0≤t≤4).
(3)如圖2中,
由(2)可知:PE=BE=t,ON=4-t,CE=8-t,
在Rt△PCE中,PC2=t2+(8-t)2=2t2-16t+64,
∵△PDC是等腰直角三角形,DH⊥PC,
∴PH=CH=DH,
∴S△PDC==(0≤t≤4).
易知AN=PN=DK,∠QPN=∠PDK,∠PNQ=∠PKD=90°,
∴△PNQ≌△DKP,
∴DP=PQ=DC,∵PQ∥DC,
∴四邊形PQCD是平行四邊形,
∵∠DPQ=90°,
∴四邊形PQCD是矩形,
∵PD=PQ,
∴四邊形PQCD是正方形,
由題意:2()=,
2()=10t
整理得t2-8t+32=0,
解得:t=2或16(舍棄),
∴t=2時,四邊形PDCQ的面積為20,
此時PC=2,PQ=2,PN=2,ON=2,NQ==4,
∴OQ=QN-ON=2,
∴Q(0,-2).
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【題目】二次函數(shù)的圖象如圖所示,以下結(jié)論:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b>0;④其頂點坐標為(,﹣2);⑤當x<時,y隨x的增大而減小;⑥a+b+c>0正確的有( )
A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個
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【題目】某商店用1000元人民幣購進水果銷售,過了一段時間,又用2400元人民幣購進這種水果,所購數(shù)量是第一次購進數(shù)量的2倍,但每千克的價格比第一次購進的貴了2元.
(1)該商店第一次購進水果多少千克;
(2)假設(shè)該商店兩次購進的水果按相同的標價銷售,最后剩下的20千克按標價的五折優(yōu)惠銷售.若兩次購進水果全部售完,利潤不低于950元,則每千克水果的標價至少是多少元?
注:每千克水果的銷售利潤等于每千克水果的銷售價格與每千克水果的購進價格的差,兩批水果全部售完的利潤等于兩次購進水果的銷售利潤之和.
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【題目】再讀教材:寬與長的比是(約為)的矩形叫做黃金矩形,黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感.世界各國許多著名的建筑,為取得最佳的視覺效果,都采用了黃金矩形的設(shè)計,下面我們用寬為的矩形紙片折疊黃金矩形(提示:)
第一步:在矩形紙片一端利用圖①的方法折出一個正方形,然后把紙片展平.
第二步:如圖②,把這個正方形折成兩個相等的矩形,再把紙片展平.
第三步:折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線,并把折到圖③中所示的處.
第四步:展平紙片,按照所得的點折出使則圖④中就會出現(xiàn)黃金矩形.
問題解決:
(1)圖③中_ (保留根號);
(2)如圖③,判斷四邊形的形狀,并說明理由;
(3)請寫出圖④中所有的黃金矩形,并選擇其中一個說明理由.
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【題目】某青春黨支部在精準扶貧活動中,給結(jié)對幫扶的貧困家庭贈送甲、乙兩種樹苗讓其栽種.已知乙種樹苗的價格比甲種樹苗貴10元,用480元購買乙種樹苗的棵數(shù)恰好與用360元購買甲種樹苗的棵數(shù)相同.
(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價格各是多少元?
(2)在實際幫扶中,他們決定再次購買甲、乙兩種樹苗共50棵,此時,甲種樹苗的售價比第一次購買時降低了10%,乙種樹苗的售價不變,如果再次購買兩種樹苗的總費用不超過1500元,那么他們最多可購買多少棵乙種樹苗?
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【題目】某中學組織學生到商場參加社會實踐活動,他們參與了某種品牌運動鞋的銷售工作,已知該運動鞋每雙的進價為120元,為尋求合適的銷售價格進行了4天的試銷,試銷情況如表所示:
(1)觀察表中數(shù)據(jù),x,y滿足什么函數(shù)關(guān)系?請求出這個函數(shù)關(guān)系式;
(2)若商場計劃每天的銷售利潤為3000元,則其單價應定為多少元?
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【題目】二次函數(shù)的部分圖象如圖,圖象過點,對稱軸為直線,下列結(jié)論:①;②;③;④當時, 的值隨值的增大而增大;⑤當函數(shù)值時,自變量的取值范圍是或.其中正確的結(jié)論有__________.
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【題目】如圖,△ABC和△BDE都是等邊三角形,點A,B,D在一條直線上。給出4個結(jié)論:①AE=CD;②AB⊥FB;③∠AFC=60°;④△BGH是等邊三角形。其中正確的是( )
A.①,②,③B.①,②,④
C.①,③,④D.②,③,④
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【題目】重慶市有五個景區(qū)很受游客喜愛,一旅行社對某小區(qū)居民在暑假期間去以上五個景區(qū)旅游(只選一個景區(qū))的意向做了一次隨機調(diào)查統(tǒng)計,并根據(jù)這個統(tǒng)計結(jié)果制作了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
該小區(qū)居民在這次隨機調(diào)查中被調(diào)查到的人數(shù)是_______人, 想去景區(qū)的人有_________人, 并補全條形統(tǒng)計圖.
被調(diào)查到的居民想去 景區(qū)旅游的人數(shù)最多,若該小區(qū)有居民人,估計去該景區(qū)旅游的居民約有多少人?
小強同學贊假期間計劃與父母從五個景區(qū)中,任選兩個去旅游,求選至兩個景區(qū)的概率,(要求列表求概率)
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