Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=2，AC=BC= ．

（1）以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系如圖，請(qǐng)你分別寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過A、B、C三點(diǎn)且以C為頂點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）若D為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為何值時(shí)，S△ABD= S△ABC；
（4）如果將（2）中的拋物線向右平移，且與x軸交于點(diǎn)A′B′，與y軸交于點(diǎn)C′，當(dāng)平移多少個(gè)單位時(shí)，點(diǎn)C′同時(shí)在以A′B′為直徑的圓上（解答過程如果有需要時(shí)，請(qǐng)參看閱讀材料）．
附：閱讀材料
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，對(duì)于一些特殊方程可以通過換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解．如解方程：y4﹣4y2+3=0．
解：令y2=x（x≥0），則原方程變?yōu)閤2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3．
當(dāng)x1=1時(shí)，即y2=1，∴y1=1，y2=﹣1．
當(dāng)x2=3，即y2=3，∴y3= ，y4=﹣ ．
所以，原方程的解是y1=1，y2=﹣1，y3= ，y4=﹣ ．
再如x2﹣2=4 ，可設(shè)y= ，用同樣的方法也可求解．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB的垂直平分線為y軸，

∴OA=OB= AB= ×2=1，

∴A的坐標(biāo)是（﹣1，0），B的坐標(biāo)是（1，0）．

在直角△OBC中，OC= =2，

則C的坐標(biāo)是：（0，2）；

（2）

解：設(shè)拋物線的解析式是：y=ax2+b，

根據(jù)題意得： ，

解得： ，

則拋物線的解析式是：y=﹣2x2+2；

（3）

解：∵S△ABC= ABOC= ×2×2=2，

∴S△ABD= S△ABC=1．

設(shè)D的縱坐標(biāo)是m，則 AB|m|=1，

則m=±1．

當(dāng)m=1時(shí)，﹣2x2+2=1，解得：x=± ，

當(dāng)m=﹣1時(shí)，﹣2x2+2=﹣1，解得：x=± ，

則D的坐標(biāo)是：（ ，1）或（﹣ ，1）或（ ，﹣1），或（﹣ ，﹣1）．

（4）

解：設(shè)拋物線向右平移c個(gè)單位長(zhǎng)度，則0＜c≤1，OA′=1﹣c，OB′=1+c．

平移以后的拋物線的解析式是：y=﹣2（x﹣c）2+2．

令x=0，解得y=﹣2c2+2．即OC′=﹣2c2+2．

當(dāng)點(diǎn)C′同時(shí)在以A′B′為直徑的圓上時(shí)有：OC′2=OA′OB′，

則（﹣2c2+2）2=（1﹣c）（1+c），

即（4c2﹣3）（c2﹣1）=0，

解得：c= ，﹣ （舍去），1，﹣1（舍去）．

故平移 或1個(gè)單位長(zhǎng)度．

【解析】（1）根據(jù)y軸是AB的垂直平分線，則可以求得OA，OB的長(zhǎng)度，在直角△OBC中，利用勾股定理求得OC的長(zhǎng)度，則A、B、C的坐標(biāo)即可求解；（2）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；（3）首先求得△ABC的面積，根據(jù)S△ABD= S△ABC ， 以及三角形的面積公式，即可求得D的縱坐標(biāo)，把D的縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，即可求得橫坐標(biāo)．（4）設(shè)拋物線向右平移c個(gè)單位長(zhǎng)度，則0＜c≤1，可以寫出平移以后的函數(shù)解析式，當(dāng)點(diǎn)C′同時(shí)在以A′B′為直徑的圓上時(shí)有：OC′2=OA′OB′，據(jù)此即可得到一個(gè)關(guān)于c的方程求得c的值．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的概念對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)．